選座位 - 拼圖

※ 引述《pphhxx (pphhxx)》之銘言：
: 這是一個我現在遇到的問題，如果現在有四個人要選座位
: 坐在同一張桌子旁，配置如這樣
: ┌─┐
: A│ │C
: │ │
: B│ │D
: └─┘
: 如果每個人都有自己想坐一起或不坐一起的人
: 那麼選座位順序的優劣是如何排呢?
: 我自己是覺得 4 < 1 < 2or3 (這想不太出來XD)


粗略的想,假設已經有一人坐下去
__
A| |
|__|

順位為2的人,他有三個位置可選,而A有三分之一是

1.他想一起 2.不想一起 3.沒差 機會均等

所以除了A是 3.沒差 外,其他兩種他都可以做出對他有利的選擇
而當 3.沒差的時候,B坐在三種位置期望值對自己來說都是0
所以也假設這種情況,B想坐哪裡也是隨機.


(這邊假設坐到想做的人身邊/遠離不想坐的 期望值都是得1分)


所以期望值為

1.他想一起 1/3*1

2.不想一起 B選擇坐另一側,坐到想要一起的機率為(1/3)*(1/3)=1/9
^^^ ^^^
做另一側,旁邊剛好是喜歡的

3.沒差 0


所以是1/3+1/9=12/27

這是順位2的選位期望值.

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而順位為3的人,他碰到情形有

A |

B |

或

A | |B

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第一種沒得選,期望值=0不用算.

第二種的機率為,1/3+(1/3)*(2/3)

(第一個三分之一是B選擇逃離A,第二個九分之二是B跟A屬於沒差,B隨機坐到另一側)

所以有5/9 他有選擇權,需要計算

但這5/9裡面又分成, A/B = 喜歡/不喜歡/沒差


C3取2,三種去排列:


喜歡 不喜歡 > C的期望值為 (5/9)*(1/3)*1

喜歡 沒差 > C的期望值為 (5/9)*(1/3)*1

沒差 不喜歡 > C的期望值為 (5/9)*(1/3)*0 因為只能跟沒差的坐




所以順位3的人選到想要位子期望值是10/27,小輸順位2的 12/27 .


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