遊戲的運氣成份 - 桌遊

※ 引述《nahsnib (悟)》之銘言：
: 關於猜拳到底是不是運氣問題，我想可以引用賽局理論(雖然我也沒修過)
: 舉例而言：
: 現在A與B都有攻擊與防禦兩種選擇，我們畫個表格來表示其結果：
: A\B 攻 防
: 攻 A得2分 B得1分
: 防 B得1分 A得1分
: 我們可以很簡單的分析，對A而言攻擊的效果大於防禦的效果。
: 如果這是個比較分數差距的狀況，那麼我們可以稍微改寫一下表格：
: A\B 攻 防
: 攻 A得3分 XX
: 防 XX A得2分
: 這麼看來，對A來說應該要以3/5的機率選擇攻擊，2/5的機率選擇防禦比較恰當，
: (上面這段不太確定，還請實際有學過賽局的人表示一下)

這邊是錯的！

納許平衡是一個保守的策略，他的核心是：
我使用這個策略，不論對手使用什麼策略來應對，"對手的收益"都是一樣的

A\B 攻 守
攻 2\0 0\1
守 0\1 1\0

這個表格表示雙分策略組合的得分

我們先用直覺想一下，如果你是B，你知道A有較大的機率選攻擊(3/5)，你會怎麼做?
一般正常人都知道應該要選防守，來讓自己得分的機會變大
你有3/5的機會得1分，2/5的機會得0分，顯然A這樣的策略是行不通的

如果A總是選擇防守，顯然B也應該要總是選擇攻擊，所以A的策略不能總是選擇防守

因此A要選擇防守和攻擊都有可能的"混合策略"，讓B不會有"比較好"的決定

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A\B 攻 守
攻 2\0 0\1
守 0\1 1\0

以上大概念，以下實際的計算：

A的策略應該是要讓B無論選擇什麼策略，期望值都一樣。
假設A選擇攻擊的機率為x，防守的機率為1-x

則：
B選擇攻擊的期望值=B選擇防守的期望值
A攻B攻+A守B攻=A攻B守+A守B守
x*0+(1-x)*1=x*1+(1-x)*0
x=1/2
A應該要選擇1/2攻擊、1/2防守，此時無論B選擇什麼策略都會得到1/2的期望值

相對的也可以分析B的策略，如果B也採用納許平衡的策略
假設B選擇攻擊的機率為y，防守的機率為1-y

則：
A選擇攻擊的期望值=A選擇防守的期望值
A攻B攻+A攻B守=A守B攻+A守B守
y*2+(1-y)*0=y*0+(1-y)*1
y=1/3
B應該要選擇1/3攻擊、2/3防守，此時無論A選擇什麼策略都會得到2/3的期望值


因此實際上，雙方都採用奈許的策略時：
16.7% A得2分
50% B得1分
33.3% A得1分

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這個賽局表格也可能會長下面的樣子，算起來完全不一樣：

A\B 攻 守
攻 2\-2 -1\1
守 -1\1 1\-1

這是個零和賽局
A應該選擇2/5攻擊、3/5防守，給予B -1/5的期望值，不論B做什麼決定
B應該選擇2/5攻擊、3/5防守，給予A 1/5的期望值，不論A做什麼決定

因此實際上，雙方都採用最保守的奈許的策略時，我們預測：
16% A得 2分，B得-2分
48% A得-1分，B得 1分
36% A得 1分，B得-1分

大家可以自己試著算算看
記住奈許均衡的策略核心是：
不論對手做什麼樣的策略決定，他的受益都是一樣的，即使他完完全全了解你的策略


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