連分數 - 拼圖

※ 引述《EIORU ()》之銘言：
: 有一個數字 = 0.abcdefg... a~g...代表數字(可相同)
: 1
: = 0 + -----------------------
: 1
: a + -----------------
: 1
: b + -----------
: 1
: c + -----
: ...(以此類推)
: 請問 這個數字存在嗎?

雖然內文沒有說，但是標題寫的是"連分數"，

因此假設 [0;a,b,...] 是一個連分數，由連分數的定義，

a,b,c,d,... 都是 "正整數"

(來源: http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction)

因此 LPH66 的證明是對的。

我們也可以藉著構造一個這樣的數來反證他：

假設這個數存在，[0;a,b,...] = 0.ab..

1/(0.abcd...) = a.~

=> 10/(a+1) <= a.~ < 10/a

只有 a = 3 時， 2.5 <= a < 3.3333 符合

(a = 2 => 3.333 <= a < 5 不合,
a = 4 => 2.5 <= a < 2 不合)

1/(1/(0.3bc...) - 3) = b.~

0.3b < 0.3bc... <= 0.3{b+1}

1/(1/(0.3b) - 3) < b <= 1/(1/(0.3{b+1} - 3)

b = 0 : 3.~ < b <= 4.42857... 不合

b = 1 : 4.42857 < b <= 8.~ 不合

b = 2 : 8.~ < b <= 33.~ 不合

b = 3 : 33.~ < b 或 b <= -17.~ 不合

當 b > 4 時，1/(1/(0.3b) - 3) < 0

所以不存在這樣的 b ，和 LPH66 的結論是一樣的

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