這有公式嗎?! - 拼圖

Sierra Rose avatar
By Sierra Rose
at 2016-02-10T19:18

Table of Contents


要公式的話就從畢氏數組公式下手吧:

最簡畢氏數組可由 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) 產生, 其中 m n 互質且一奇一偶

因為 m^2+n^2 一定是三數裡最大的, 所以面積就是 mn(m^2-n^2)

考慮進 k 倍放大的話就是 k^2*mn(m+n)(m-n)

那麼就來列表啦:

m n mn(m+n)(m-n) m n mn(m+n)(m-n)
-------------------- --------------------
2 1 6 8 1 504
3 2 30 8 3 1320
4 1 60 8 5 1560
4 3 84 8 7 840
5 2 210 9 2 1386
5 4 180 9 4 2340
6 1 210 9 8 1224
6 5 330 10 1 990
7 2 630 10 3 2730
7 4 924 10 7 3570
7 6 546 10 9 1710

灰字就是連 k=1 面積都超過 1000 的

接下來也不是所有公倍數都能用, 要是 k^2 倍才行

所以再次列表:

m n k=1 2 3 4 5 ...
------------------------------
2 1 6 24 54 96 150 216 294 384 486 600 726 864 x
3 2 30 120 270 480 750 x
4 1 60 240 540 960 x
4 3 84 336 756 x
5 2 210 840 x
5 4 180 720 x
6 1 210 840 x
6 5 330 x
7 2 630 x
7 4 924 x
7 6 546 x
8 1 504 x
8 7 840 x
10 1 990 x

於是可以看到唯一出現三次的解即是表中黃字的數字 840

對應的三角形為: (m,n,k)=(5,2,2) => (42,40,58)
(m,n,k)=(6,1,2) => (70,24,74)
(m,n,k)=(8,7,1) => (15,112,113)

====

Bonus:

OEIS 裡有這麼一條數列: http://oeis.org/A177021

容易看到前面這些項都是 840 的倍數

不過並不都是上面這一組的整倍數

例如 10920 = 840*13, 對應的是

(m,n,k)=(10,3,2) => (182,120,218)
(m,n,k)=(13,8,1) => (105,208,233)
(m,n,k)=(14,1,2) => (390,56,694)

倍數也不一定像 13 一樣是平方和, 像 31920 = 840*38 這個解對應

(m,n,k)=(12,7,2) => (190,336,386)
(m,n,k)=(19,16,1) => (105,608,617)
(m,n,k)=(20,1,2) => (798,80,802)

然後也不是所有的面積都是 840 的倍數

此數列的說明文有提到一組 13123110 對應三個最簡畢氏數組:

(m,n,k)=(138,5,1) => (19019,1380,19069)
(m,n,k)=(78,55,1) => (3059,8580,9109)
(m,n,k)=(77,38,1) => (4485,5852,7373)

但 13123110 就不是 840 的倍數了

--
'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513

--
Tags: 拼圖

All Comments

Quintina avatar
By Quintina
at 2016-02-15T15:12
感謝認真回應!

這有公式嗎?!

Valerie avatar
By Valerie
at 2016-02-10T02:59
※ 引述《pikacha (小億)》之銘言: : 我記得這個好像 PuzzleUp有出過... : 已知直角三角形三邊長均為正整數 : 試找出三個邊長都不同直角三角形,讓它們的面積相等,且小於或等於1000平方公分 : 邊長的最小單位是:公分。有多組解是多多益善! : (另註:不能是等腰直角三角形!) : 這 ...

用五十年完成的題目?!

Elvira avatar
By Elvira
at 2016-02-05T21:06
下面這個Link是我把圖貼過去,會用程式的人可以挑戰用and#34;50and#34;分鐘解開它... 來看看這個號稱五十年才完成的題目: 這是 John Couch Adams(1819-1892)所出 在下圖中填入1-19,讓15條線(5直+10斜)的總和都相等! http://bbs.nyasama ...

快問快答:令人傻眼的問題?!

Isabella avatar
By Isabella
at 2016-02-03T19:55
話說戴眼鏡的小孩又在帕索大學找書看,有些問題讓他覺得很好笑?! 1.某個殘忍的富翁對待小偷的方法:深夜把他丟進深井,再丟碎冰直到他的下巴高度!   哼哼,明天早上冰化成水,就會淹死了!   請問這小偷真的死了,你能說出他最可能的死因嗎? 2.在奧運會場中,送來的220個乒乓球有一顆稍微輕一點點!   而 ...

沒有解答的推理(7)兄弟情緣?!

David avatar
By David
at 2016-02-02T09:37
※ 引述《pikacha (小億)》之銘言: : 這系列的最後一題,剩下3題的題目都很長,有一題還要配合前面的題目... : 請自己去找吧~ : 帕索大學校長有四個孩子,就分別簡稱為東、南、西、北吧! : 他們剛好今年進入帕索大學念書,其中二位加入高爾夫球社,另二位則加入籃球社。 : 我問校長他們加入的社團和 ...

沒有解答的推理(7)兄弟情緣?!

Ivy avatar
By Ivy
at 2016-02-02T07:32
這系列的最後一題,剩下3題的題目都很長,有一題還要配合前面的題目... 請自己去找吧~ 帕索大學校長有四個孩子,就分別簡稱為東、南、西、北吧! 他們剛好今年進入帕索大學念書,其中二位加入高爾夫球社,另二位則加入籃球社。 我問校長他們加入的社團和年齡大小,校長這樣回答: 1.若非東和南打的球不同,則西比東 ...