[轉錄] 邏輯推理題（兩人猜數） - 拼圖

我想了一下(其實快三個鐘頭)
我認為這題無解

因為A說了三次我不知道
代表平方和的解 至少要有三組(原因後表)

根據R大提供的數值 平方和有三組解的值
至少為325(至少要比325還大)
但是平方和=325的值

325=1^2+18^2 (數字和=19)
=6^2+17^2 (數字和=23)
=10^2+25^2(數字和=35)

但是平方和有三組解的值 數字和相同而有重複平方和的解
皆至少三組

舉例來說
數字和=19的值中
8^2+11^2=4^2+13^2=185
6^2+13^2=3^2+14^2=205
5^2+14^2=10^2+11^2=221
3^2+16^2=11^2+12^2=265
1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+25^2=325

也就是說 如果A拿到的數字是325
B拿到的數字是19
B推想的數據組會有五個 以連續三次不是 不足以判定答案
所以

無解

以下 開始解釋 為何我認為
說三次不知道 才能推測得答案 代表平方和的解 至少要有三組

(我先說 過程很長)

舉一個數字比較簡單的例子好了

若平方和=85

則85=2^2+9^2 (數字和=11)
=6^2+7^2 (數字和=13)

而數字和=11 重複數字和 的解
4^2+7^2=1^2+8^2=65 (後者數字和=9)
9只有一組解
2^2+9^2=6^2+7^2=85 (後者數字和=13)
13有三組解

所以當A拿到85時 他會思考 發現有兩組解
(1) 2^2+9^2 (數字和=11)
(2) 6^2+7^2 (數字和=13)

所以他說 我不知道答案 (A第一個不知道)

假設 B拿到的數字是 11
他發現 也有兩組解

(1) 4^2+7^2=1^2+8^2=65
(2) 2^2+9^2=6^2+7^2=85

也就是說 B會推測 A拿到的數字不是85就是65
但是 B還是不知道答案 (B第一個不知道)

因為 無論是數字和為11或13 皆符合兩組解以上的敘述
所以 即便 B說我不知道答案 A也無法更進一步判斷

所以他說 我不知道答案 (A第二個不知道)

輪到B了 此時B會思考 如果A手上的數字是65
當我第一次說 我不知道答案 他就會知道 我手上的數字不是9
因為如果我手上的數字是9 那我就會知道答案
(因為 數字和=9 平方和有重複的情況只有一種
就是 4^2+7^2=1^2+8^2=65 (後者數字和=9) )


既然 所以如果 A手上的數字是65 當我說完我不知道之後
A 就會知道 我手上的數字是11
則A就會知道答案 然而 他說他不知道 代表A手上的數字是85
所以 B 會說 我知道答案了

因此 當答案為2和9時 (平方和有兩組解)
回答過程為

A 我不知道
B 我不知道
A 我不知道
B 我知道了


根據第一個例子 做更複雜的討論

若平方和=85

則85=2^2+9^2 (數字和=11)
=6^2+7^2 (數字和=13)

而數字和=11 重複數字和 的解
4^2+7^2=1^2+8^2=65 (後者數字和=9)
9只有一組解
2^2+9^2=6^2+7^2=85 (後者數字和=13)
13有三組解

而數字和=13 重複數字和 的解
6^2+7^2=2^2+9^2=85 (後者數字和=11)
11有兩組解
1^2+12^2=8^2+9^2=145 (後者數字和=17)
17有三組解
2^2+11^2=5^2+10^2=125 (後者數字和為15)
15只有一組解

所以當A拿到85時 他會思考 發現有兩組解
(1) 2^2+9^2 (數字和=11)
(2) 6^2+7^2 (數字和=13)

所以他說 我不知道答案 (A第一個不知道)

假設 B拿到的數字是 13
他發現 會有三組解

(1) 6^2+7^2=2^2+9^2=85
(2) 1^2+12^2=8^2+9^2=145
(3) 2^2+11^2=5^2+10^2=125

也就是說 B會推測 A拿到的數字不是85就是145或125
但是 B還是不知道答案 (B第一個不知道)

因為 無論是數字和為11或13 皆符合兩組解以上的敘述
所以 即便 B說我不知道答案 A也無法更進一步判斷

所以他說 我不知道答案 (A第二個不知道)

輪到B了 此時B會思考 如果A手上的數字是125
當我第一次說 我不知道答案 他就會知道 我手上的數字不是15
因為如果我手上的數字是15 那我就會知道答案
(因為 數字和=15 平方和有重複的情況只有一種
就是 2^2+11^2=5^2+10^2=125 (後者數字和=15) )

所以如果 A手上的數字是125 當我說完我不知道之後
A 就會知道 我手上的數字是13
則A就會知道答案 然而 他說他不知道 代表A手上的數字不是125

但是不是125 可能是85或145 所以B還是不知道答案
所以 B會說 我不知道答案 (B 第二個不知道)

這時 又輪回A了
A 會想 如果B手上的數字是11 則B會知道答案
(第一個例子)
但是 B說他不知道 代表他手上的數字是13

所以 A就會知道 答案是 6和7

所以 當答案是6和7時 (平方和有兩組解)
回答過程為

A 我不知道
B 我不知道
A 我不知道
B 我不知道
A 我知道了

綜上所述 因此我認為 要讓A說三個我不知道 才知道答案
至少平方和 要有三組解

因此 (平方和至少要大於325)
故 我以為
此題無解

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