請問如何填出最大的數字 - 拼圖

※ 引述《bamboo1106 (bamboo)》之銘言：
: 有一個 5 * 5 的方格，要在裡面填上 1 ~ 5 的數字
: 其中要滿足以下條件：
: 1 可以放在任何格子
: 2 必須放在旁邊有 1 的格子
: 3 必須放在旁邊有 1、2 的格子
: 4 必須放在旁邊有 1、2、3 的格子
: 5 必須放在旁邊有 1、2、3、4 的格子
: 旁邊指的是該格的上下左右

證明是有想出來一些

但最後一部分符合直覺卻並不嚴謹

想貼出來大家討論看看

--[63解]--

32413 24312 在證明的過程中做出來的
11342 11243 本板先前"蓋房子"討論題 將5換成4可得61解
35251 25351
24132 34123
13241 12341

--[證明 : 最大值 <= 65]--

每個2以上的格子 都需要有較小的格子在旁邊支持
可以說大數字格的分數 來自相鄰小數字格的"貢獻"
故 定義每格的"貢獻值" = 該格數值 + 0.5*OUT - 0.5*IN
其中 OUT/IN 表示該格對鄰格 輸出/輸入 貢獻

如果是1的點 最多4OUT 貢獻度MAX = 1 + 0.5*4 = 3
5的點要有四個較小的點支持 貢獻度 = 5 - 0.5*4 = 3
這樣 角落 / 四邊 / 中央 貢獻度上限分別為 2 / 2.5 / 3
因此總貢獻度上限 = 2*4 + 2.5*12 + 3*9 = 65
貢獻度輸出輸入來自真實標號轉換 無法額外增加 故得證原始上限也是65

--[證明 : 最大值 <= 63]--

標示為1的點與其周圍十字狀4格非1點 視為一個disc
若兩個disc有重疊 重疊區域貢獻度就無法到達上限

CASE 1 : 兩個disc的非1點重疊

因為周圍有兩個1 因此相鄰1處必須為IN (否則1的點貢獻度會變少)
剩下兩個邊要OUT 就只能標2 貢獻度就只能到 : 2 + 0.5*2 - 0.5*2 = 2
若要標3 則需3IN 貢獻度只能到 : 3 + 0.5*1 - 0.5*3 = 2
故這樣重疊 該點貢獻度就會少1

CASE 2 : 兩個disk的1點相鄰

因為相鄰導致兩者只有一邊能算OUT IN的一邊貢獻度也會少1
當然要兩邊都當作非IN非OUT 貢獻度少 0.5*2 也是少1

因此若能證明 "覆蓋5*5方格的disc disc重疊至少兩組" 則原題得證

要將十字disc完全鋪滿平面 又要盡量避免重疊

大部分必須採騎士間隔的方式 也就是下圖這樣的排列方式

　　ａ
　ａＡａｂ□　　　其中大寫為1點　小寫為同disc的非1點
　ｃａｂＢｂ
ｃＣｃｄｂ□ 然而要鋪滿5*5 我們會發現不論怎麼挪移
　ｃｄＤｄ□
　□□ｄ□□ 都會出現左圖中□的位置無法覆蓋 (旋轉平移後同圖)

其中最左下與最右上的兩個□
不論以何種disc要包含他們 一定會跟周圍disc有所重疊 故最少兩個重疊

因此上限至少少2 : 65-2=63 故得證

[結論]

綜合結果 得證本題上限恰為63


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