西洋棋謎題（模仿者問題） - 西洋棋

該公布這題的答案了，因為沒有人做這題。

: 那麼接下來是問題了。棋盤的狀況如圖所示：
:
: ８ 黑白
: ７　ｐ　　ｐ ｐＰ ＝ 小兵
: ６　　　ｐ ｒＲ ＝ 城堡
: ５　ｐ ｎＮ ＝ 騎士
: ４ ｂＢ ＝ 主教
: ３　ｋＰ ｑＱ ＝ 皇后
: ２　　ＰＰＰＰＰＰＰ ｋＫ ＝ 國王
: １　ｎ　　ｒ　　●
: ● ＝ 模仿者
: 　　ａｂｃｄｅｆｇｈ
:
: 1. 棋盤上的白王被拿掉了，請問它正確的位置在哪裡？
: 2. 黑方的兩個主教分別是在哪裡被吃掉的？

在這個局面中，乍看黑王面臨了不可能的將軍，
但是根據模仿者規則，由於模仿者接下來無法模仿 b2xa3 這個動作，
所以黑王在這邊不視為被將軍。這跟解這題沒什麼關係，
只是先回答某些人可能會有的疑惑。

首先注意到底下的黑騎士跟黑城堡，
它們總有一個必須是升變來的，
不然當騎士佔據 a1（那必須是在 axb3 之前）之後城堡就絕對無法來到它現在的位置。
可是易看出 a5 和 c6 的兵本來分別就是 b7 和 c7 的兵（也許有交換），
因此那個升變的黑至少是從 e 行走過來的，這至少需要斜移四次，
而 a5 那個兵至少也斜移了一次，於是黑方總共至少斜移五次，
但白方能夠用來幫助斜移的子力也就只有五個（兩個主教因為出不去、無法幫忙），
因此就可以得到結論：

a5 兵是本來的 b7 兵斜移一次之後變成、c6 兵是原本的 c7 兵，
而黑方的 e7 兵在連吃了四子之後來到 a 行，
通過白方打開的洞口升變成騎士
（注意，如果是升變成城堡，那至少還要再多用一次斜移，不合），
而城堡則是在那更早之前就進入第 1 列了。

由上述結論，就可以知道，白棋除了兩個主教都是死在原地之外，
其餘的五個子力有四個分別就是死於 a3, b4, c5, d6，
而最後一個可能是死於 a6 或 a5，現在暫時無法確定。

這邊我準備探討棋子被吃掉的位置有個很重要的理由，
那就是，模仿者從一開始到最後所移動的向量，
其實就是整盤棋黑白雙方所有移動的向量之和，
而這又等於每個棋子各自從開始到結束之間的向量之和，
換句話說判斷每個棋子死掉或者最終的位置，
再跟模仿者比較，這會是非常有用的一個方法。

而為了要讓這個方法有用，有一個很重要的關鍵：棋子的端點位置是可以交換的。

舉例來說，現在我有兩個棋子，一個整體來看是 a1-b4，
另一個是 b1-c6，因此兩者移動的向量分別是 (1,3) 和 (1,5)，加起來是 (2,8)。
如果我把它們的終點交換，變成 a1-c6 以及 b1-b4 呢？
那麼向量會是 (2,5) 和 (0,3)，加起來一樣是 (2,8)。
換句話說，我不需要精確地知道每個棋子各自死在哪裡，
我只要知道有哪些地方是曾經有棋子死掉，這樣就夠了。

以白棋來說，由剛才的結論，除了國王之外的所有棋子貢獻的向量應該是：

(1,1)+(0,2)+(0,3)+(-1,4)+(-3,5)+(-7,4 or 5) = (-10,19 or 20)

這邊我是擅自假定一種起始位置和終點位置的配對組合，
根據可交換性我們知道這樣隨便假定的結果算出來也會是正確的。

而黑棋方面，就棋盤上除了城堡以外的其他棋子的最終位置來說，貢獻的向量是

(-1,-2)+(0,-1)+(-4,-5)+(-4,-6) = (-9,-14)

於是到目前為止的總和是 (-19,5 or 6)。

根據模仿者的規則，模仿者一開始有可能在棋盤上的任何空白位置，
所以以模仿者在圖中的最後位置來說，
它的橫移量範圍是 [-1,6]（我將以方刮號表示區間）、縱移量範圍是 [-2,-5]，

因此，除了剛才討論的棋子之外其他的棋子必須提供 [18,25]
的橫移量和 [-11,-7] 的縱移量。

現在，稍早我們已經說過底下的城堡不能是升變來的，
所以它是 a8 或 h8 的城堡其中之一，
提供的向量分別是 (3,-7) 和 (-4,-7)。
不管是哪種情況，把這個城堡考慮進去之後，
剩下的其他棋子提供的縱移量都必須在 [-4,0] 之間。

這個時候還有一個棋子的負縱移沒有被考慮到：
就是在 b3 被白兵吃掉的棋子。
由於這個棋子不可能是黑兵，
因此這個被吃掉的棋子竟然提供了 -5 的縱移，
於是剩下的其他棋子的總縱移就必須是 [1,5]。

這個時候，如果從題目的局面開始追溯可能的棋步，
由於模仿者被卡在第 1 列，
會發現那將是無止盡的黑城堡與白王的橫向移動，
這將無法追溯到初始的佈局狀態──
除非，早先的某一步是白王吃掉了一個黑棋，
而且那個黑棋只能是騎士，否則一樣解決不了問題。

也就是說，白王必定在稍早吃了一個黑騎士，
那是抵達題目的局面之前最後一個「有意義」的棋步。

而且那個黑騎士在被吃掉之前正好做了一個往下跳的動作（使得模仿者來到第 1 列），
然後立刻就被白王橫向吃掉。這件事會是發生在哪一列？
顯然頂多是第 6 列，但是也至少是第 5 列，
不然白王的正縱移無法補足該黑騎士的負縱移。
於是，白王最終的可能位置已經被縮小到兩列之間了。

但是這麼一來，白王跟黑騎士的縱移抵銷後是 1 或 3。
如果是 1，那黑棋就再也不能有任何負縱移，
如此一來剩下的四個黑兵都不曾動過，因而 f8 的主教沒有動過。
在這個前提之下，我們來計算橫移量。
不失一般性我先假設在 b3 被吃掉的棋子是 a8 的城堡，
於是兩個黑城堡的橫移量和是 -3。國王頂多提供 3，
兩個黑騎士頂多提供 7，黑主教因為有一個不能動頂多提供 5，
最後黑皇后頂多提供 4。這加起來頂多是 16，跟範圍還差了2，不可能。

換句話說，白王跟那個被它吃掉的黑騎士的縱移量之抵銷應該是3，
以及黑騎士是在第 6 列被吃的；上面的計算也意味著，
為了把橫移量補足，黑方除了在 b3 被吃掉的棋子之外，
所有的棋子都必須是在 h 行被吃，而且白王最終也必須是在 h 行，
以及模仿者必須是初始在 h 行。

因此第一個問題的答案揭曉了：白王的正確位置在 h6。

接下來，黑棋只剩下 -2 的負縱移可以用，
但是如果 f8 主教是在 h6 以下的格子被吃
（因為顏色的關係它顯然並非是在 b3 被吃掉的棋子），
那麼它就已經把這負縱移都用完了，
但這樣一來其餘的黑兵就不能動，它根本無法出來，矛盾，
因此 f8 主教只能是在 h8 被吃掉。

最後，如果 c8 主教不是那個在 b3 被吃掉的棋子，
那它為了在 h 行被吃，它至少用掉了 -2 的負縱移
（它自己要 -1、而 h7 小兵要讓開也要 -1），
可是剛才為了讓 f8 主教在 h8 被吃，已經移動了 g7 的小兵、
用掉了 -1 的負縱移，根本沒有多餘的 -2 負縱移可以給它用，
因此它只能是在 b3 被吃掉的那個棋子。

於是解到這邊答案終於出來了：兩個黑主教分別是在 b3 和 h8 被吃的。

全部解決完畢。

注意到一直解到最後我都無法確定縱移量到底是怎麼分配的，
因為黑方還有一個 -1 縱移量可以給某個小兵使用，
我們無從確定黑方有沒有把它用掉。但是這並不影響解題就是了。

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