淺談西洋棋謎題中的 Cook - 數獨

西洋棋謎題界裡面，所謂的「Cook」指的是謎題出現跟作者想的標準答案不同的另解，
這種題目表示作者心目中構想的結構與邏輯論證其實有瑕疵的。
發生這種事情當然有點糟糕，不過以逆向分析的題目來說這實在不容易完全避免，
因為逆向分析的論證畢竟是人在檢查的
（目前並沒有任何電腦程式可以廣泛地處理各種類型的題目，
往往只能處理極少類型的題目），
只要是人都難免會在出了上百道題目的過程當中犯了幾題錯誤。

底下我就來給予一個實例，說明 Cook 一道題目大概是怎麼樣的一個經過。
這是我最近期一次 Cook 的一道問題。

N. Plaksin（1991）Die Schwalbe 首獎：

８　　　　　　　　　　　黑白
７　　　　ｐＰｐｂ　　　ｐＰ ＝ 小兵
６　　ｐ　ｐＲＫＢＰ　　ｒＲ ＝ 城堡
５　ｐ　　Ｐｐ　　ｑ　　ｎＮ ＝ 騎士
４　　ＲＮ　　　ｋｒ　　ｂＢ ＝ 主教
３　　　　ｐ　　Ｐｂ　　ｑＱ ＝ 皇后
２　　　　　Ｐ　ｐ　　　ｋＫ ＝ 國王
１　　　　　　Ｎ　　　　

　　ａｂｃｄｅｆｇｈ

問題：求前 11 個單步。

別太驚訝，這已經遠遠不是我第一次 Cook 掉獲得雜誌首獎榮譽的問題了，
我至少曾經 Cook 過三四道拿過首獎（各個不同雜誌）的問題。

當然，基本上只要是我 Cook 掉的題目我都不會拿來貼
（不過也是有一次連我都沒發現題目被我 Cook 掉了，所以不是故意的），
除非我或者別人找到了什麼修正的方法可以讓題目重新具有唯一解。
所以總而言之我是有好好地在替各位把關題目品質的就是了！
不過，說真的題目做了老半天的結果是 Cook 的時候真的會讓人有點不爽，
因為那種可以 Cook 的題目由於其本質上的邏輯瑕疵，
更是容易讓人在推理思考的時候陷入混沌
（做過有錯誤的數獨題目的人應該就曉得那種感覺）
有的時候真的會很想扁作者一頓說「竟敢浪費我的時間！」之類的。

所以這次我決定把這題寫成文章好好婊 Plaksin 一番。
其實我跟他當然沒啥仇～而且絕大部分的時候他出的題目品質都還算滿好的，
在逆向分析的歷史中也有很重要的地位，
但是就算是這樣的人也是會出錯一些題目的。

那麼底下就開始解釋。

　　　　　　　　
　　　ｐＰｐｂ　
　ｐ　ｐＲＫＢＰ
ｐ　　Ｐｐ　　ｑ
　ＲＮ　　　ｋｒ
　　　ｐ　　Ｐｂ
　　　　Ｐ　ｐ　
　　　　　Ｎ　　

一開始拿道題目的時候總之當然是不做什麼預設立場，
先觀察局面。白王面臨黑主教的將軍，
那個黑主教只能來自 f8 或 h8，
其中來自 h8 的話必須吃一子。有可能嗎？
黑兵的陣形是 11031110，至少要斜移五次才能形成，
而白棋也恰損失五子，所以撤那個黑主教的時候不可能吐一個白棋出來，
因此只能撤 -1...Bf8 而已了。

　　　　　ｂ　　
　　　ｐＰｐ　　
　ｐ　ｐＲＫＢＰ
ｐ　　Ｐｐ　　ｑ
　ＲＮ　　　ｋｒ
　　　ｐ　　Ｐｂ
　　　　Ｐ　ｐ　
　　　　　Ｎ　　

那麼接下來怎麼辦？做倒退問題，
思考的基本上都是到底局面面臨的困境在哪裡。
白方還算滿能靈活動作的，因為有好幾個可以來回走動的棋子在外頭，
但是相對地黑方就不是那麼回事了，
除了兵以外的棋子全部都不能動。
不過，如果白棋接下來吐出一些可以靈活移動的黑棋、
或者把 g3 那個白兵斜撤走，那麼局面都可以輕鬆容易地解開。
當然，想也知道作者不可能出那麼容易解開的局面，
所以這兩種作法肯定都是錯的。不過為了安全起見，
還是必須設法證明這兩種作法都不可能成立。

我們注意到，黑兵的動線只能是 cxd 以及 hxgxfxexd
（注意後面這一串不見得是同一個兵所為，有可能是好幾個黑兵接力），
換句話說並沒有任何吃子是在 abc 行發生的。
這麼一來，abc 行的白兵要嘛斜移過去給黑兵吃、
要嘛升變了之後再跑過去（或者叫另一個長得一樣的棋子跑過去）給黑兵吃。
可是黑棋總共只損失三子，而且顯然其中還有一個是被 f7 白兵吃掉的，
所以唯有的可能是 ab 行的兵各自斜移一次之後升變
（我們知道一定要斜移才行，因為 ab 行的黑兵都只能直走）、
而 c 行的白兵則是直走後升變。
於是這麼一來，白兵的動線就只能是 axbxc 以及 fxe，
恰好也把黑方的吃子用光了。

所以待會在退的時候，不但沒有辦法隨便吐一個可以走動的黑棋，
也沒有辦法斜撤 g3 兵，因為我們知道 gh 行的白兵都只能直走。
所以稍早說的兩個撤退方案都不行。

仔細分析起來，如果把跟卡住的狀態不相干的棋子都拿走，
那麼實際上構成僵局的是底下的這些棋子：

　　　　　ｂ　　
　　　ｐＰｐ　　
　　　ｐＲＫ　Ｐ
　　　　ｐ　　ｑ
　　　　　　ｋｒ
　　　　　　Ｐｂ
　　　　Ｐ　ｐ　
　　　　　　　　

在掌握前面的分析結論之後，這個結構當中的棋子全部都不能動，
無論有沒有別人跑來「暫時擋一下」都一樣。
不過說全部也不對，因為有唯一的一個例外，
就是 d6 那個黑兵，如果它斜撤到 c7，
那麼就可以把白城堡移開，然後退 f7 或 f5 兩個兵之一都能解開僵局。
事實上上圖的這個結構也只能從 d6 兵開始退，
所以我們就可以確定出那個兵非得是原 c7 兵不可，
否則局面根本不可能形成。

不過別忘了，退 d6 兵有一個前提，
那就是升變的那個 c 行白兵得先恢復成兵並且退到至少 c6 格才行，
否則 d6 兵關回去就會把那個白兵的退路切掉。

所以，接下來很自然地就是思考怎麼樣可以趕快叫一個傢伙
跑回 c8 格去恢復成兵然後退到 c6。
我們再看一次一步前的局面：

　　　　　ｂ　　
　　　ｐＰｐ　　
　ｐ　ｐＲＫＢＰ
ｐ　　Ｐｐ　　ｑ
　ＲＮ　　　ｋｒ
　　　ｐ　　Ｐｂ
　　　　Ｐ　ｐ　
　　　　　Ｎ　　

這個局面當中在白棋趕快叫一個傢伙跑回 c8 並退至 c6 的期間，
黑棋都只有兵可以動，而且更糟的是 b6 那個兵還不能動，
因為我們很清楚原 c8 主教並沒有死在原地（事實上它還活在 h3 那裡），
這麼一來，可以退的就只有 a5 兵跟 d3 兵而已，
其中 a5 兵頂多退兩步、而 d3 兵頂多退三步退到 g6
（它不能更進一步退回 g7，因為會逆將到白王），
所以黑棋再怎樣也只能退五步（而且其前提還是 g6 主教得閃開，否則只能退四步）。
儘管前提好像還滿嚴苛的、
但是其實稍微觀察一下不難舉出好幾種「可能」的劇本，例如：

(1) 退城堡：-2. Rb5 a7 -3. Rc5 a8 -4. Rc8 e4:? -5. R=c7 f5:? -6. c6 c7:?
(2) 退主教：-2. d4 a7 -3. Be4 a8 -4. Bb7 e4:? -5. Bc8 f5:?
-6. B=c7 g6:? -7. c6 c7:?

我這邊用的是倒退代數記號，看不懂的人可以複習談記號那篇文章。
倒退代數記號現在在資料庫裡面已經非常廣泛地被使用，
所以玩西洋棋謎題的人都應該要能看懂才對。

不過，只有上面兩種可能嗎？如果你這麼想那你就太粗心了，
因為搞不好退回 c8 的那個棋子並不是最後還活著的棋子，
而是某個被黑兵吐出來的棋子也說不定。如果把這個可能性也考慮進去，
至少還會找到一種劇本：

(3) -2. Nb2 e4:R -3. Rc3 f5:? -4. Rc8 a7 -5. R=c7 a8 -6. c6 c7:?

或者在這個劇本裡面把吐出來的棋子換成皇后也有可能。
另外除了劇本 (2) 當中黑兵的行棋順序被固定住了之外，
其餘的劇本都還可以再交換黑兵的行棋順序，或者改變白皇后的路徑等等，
有非常多種不同的可能，但總之大致可以分成上述三類。

結果出現了這麼多可能的劇本，如何知道哪個才對？
老實說，其實不管哪個都不可能對。
理由何在？如果真的照這些劇本退回去，例如劇本 (2) 好了，
那麼棋盤的狀況會變成這樣：

　　　　　ｂ　　
ｐ　ｐｐＰｐ　　
　ｐＰＢＲＫｐＰ
　　　　ｐ？　ｑ
　ＲＮＰ？　ｋｒ
　　　？　　Ｐｂ
　　　　Ｐ　ｐ　
　　　　　Ｎ　　

其中有三個吐出來的白棋不知道是誰。不過最後一步吐的一定是主教，
否則原 c1 主教沒有地方可以死，不過這不是很重要。
重要的問題在於，在黑兵退了 c7:B 這一步之後，
白棋還是來不及在一步之內就把 f6 的城堡移開，
結果變成不管接下來白棋移動什麼，黑棋的再下一步一定沒東西可以退！
這個問題是上面舉出的每一個劇本都有的共通毛病。

所以，儘管我們知道退 d6 黑兵是關鍵所在，
但我們卻不能急著朝那個方向下手，否則就會出現上面這種問題。
也就是說我們必須更有耐心，先用別的方法解決黑棋沒路退的問題，
然後待會再去解決 d6 兵撤退的事。
這種「迂迴」的撤退劇本在倒退問題中是很常見的。

那麼我們再次回到題目前一單步的狀況來看。

　　　　　ｂ　　
　　　ｐＰｐ　　
　ｐ　ｐＲＫＢＰ
ｐ　　Ｐｐ　　ｑ
　ＲＮ　　　ｋｒ
　　　ｐ　　Ｐｂ
　　　　Ｐ　ｐ　
　　　　　Ｎ　　

當務之急還是沒變：我們得趕快想辦法讓黑棋有棋子可以動才行。
而且，既然不能急著解開 d6 兵導致的僵局，
那麼我們只能想辦法讓一個白棋跑到 abc 三行的某處，
恢復成原本的 ab 行白兵其中之一，
退回一定的地方並且吐一個可以動的黑棋出來。
期間黑棋仍舊只有為數不多的棋步可以動。

接下來就開始是 Cook 的部分了。
我在觀察這個局面之後不久，首先想到的是如下的劇本：

-2. d4 e4:? -3. Bh7 f5:Q! -4. Qb7 g6:? -5. Qb8 a6 -6. Q=b7 a8 -7. a6:?

只要最後那個吐出的黑棋是一個可以來回走動的黑棋，
那麼感覺上就可以慢慢退白棋並且慢慢把局面解開來。

可是，假如題目只有唯一解，那麼這個劇本不可能是對的，
因為這個劇本裡面至少 d4 和 Bh7 這兩步的順序可以交換，
事實上白皇后走的路線也可以略有變動。
所以這個給予我的暗示是，要嘛這個劇本是錯的，
要嘛題目沒有唯一的解答。

但是我看了很久始終看不出來這個劇本有哪裡能錯。
不過我也講過很多次，我看不出來並不表示它真的就沒錯，
要證明它沒錯只有一個辦法：排譜！

而且很不巧地我的確排出來了。
要做排譜檢查，大致上的方法都是兩邊逼近；
先從目標的局面開始一直倒退、
退到覺得幾乎已經毫無疑問這是走得出來的局面為止，
然後再從一開始的初始局面正著走到剛才剛才覺得毫無疑問的那個局面，
把兩段接起來就是棋譜了。當然最好都用電腦檢查一遍，
確定走出來的棋譜過程中真的都沒有犯規。

以下就是我針對這題走出來的 Cook 譜。

1.f4 b6 2.b4 h5 3.d4 e6 4.a4 Bb7 5.c4 Bf3 6.a5 Bg4 7.a6 Bh3 8.Nf3 Nc6 9.Nc3
Ke7 10.Ra5 Kf6 11.Rd5 Rh6 12.Rd6 Kf5 13.g3 Qg5 14.Nd2 Kg4 15.Qc2 Be7 16.Qe4
Nf6 17.Rg1 Rah8 18.Rg2 Bf8 19.Rf2 Nd8 20.Rf3 Nd5 21.Rd3 Ne7 22.Qg2 Rf6 23.Na4
Rf5 24.Nb2 Ra5 25.Na4 Rh6 26.Ba3 Rf6 27.b5 Rf5 28.Bb4 Re5 29.Nb2 Re4 30.c5
Nb7 31.Kd1 Nd8 32.Kc2 Nb7 33.Rc3 Nd8 34.Rc4 Nb7 35.Kd3 Nd8 36.c6 Ra1 37.Ba3
Rc1 38.Bb4 Rc2 39.f5 Nb7 40.f6 Nd8 41.fxe7 Kf5 42.Ba3 Bg4 43.Qg1 h4 44.Bg2 h3
45.Bf3 Nb7 46.Qg2 hxg2 47.h4 Bh3 48.Bb4 Qh6 49.Ba3 Rg4 50.Bb4 Rg5 51.Ba3 Rh5
52.Be4+ Kg4 53.Bb4 Rf5 54.Ba3 Qg6 55.h5 Rg5 56.h6 Rh5 57.Bb4 Rh4 58.Ba3 Qh5
59.Bh7 g6 60.Rc5 Nd8 61.Rf5 Nb7 62.Ke4 Nd8 63.Ke5 Nb7 64.Kf6 e5 65.Re6 Nd8
66.Bd6 cxd6 67.c7 Nb7 68.c8=Q Nd8 69.Qc3 Nb7 70.Qd3 Nd8 71.Nf1 Rc6 72.bxc6
Nb7 73.c7 Nd8 74.c8=R Nb7 75.Rc4 Nd8 76.Rb4 Nb7 77.Nc4 Nd8 78.Rb3 Nb7 79.Rb2
Nd8 80.Rb4 Nb7 81.axb7 a6 82.b8=Q a5 83.Qb7 gxf5 84.Qbe4+ fxe4 85.Bg6 exd3
86.d5 Bg7+

這一串用的是 PGN 格式，
各位只要有西洋棋軟體都可以直接貼上這一串來輸入棋譜
（或者可能要先存成文字檔再用軟體開啟，視設計而定）。
這個棋譜最後就會變成題目的局面，
而且最後一部分用的是我剛才講的那個劇本。

那麼，既然連這個劇本本身內部的結構都不唯一，
那就更不用談其他跟這個劇本截然不同的劇本了，
所以這題的答案肯定不唯一是確定的。

這麼篤定了之後，我就去看資料庫上面給的範例解答。

結果果然，範例解答用的甚至是完全不一樣的劇本。

所以結論就是這題真的被我 Cook 掉了。
有的時候，我們可以看得出來作者原本心中構想的論證是怎樣，
從而幫他想出可以修正這道題目的方法，但以這題來說，
其實我真的不是很看得出來作者想要營造的是什麼樣的一種結構，
所以我想幫也幫不了了。唯一知道的只有，
這道題目的核心概念是所謂的 Ceriani-Frolkin 主題，
也就是「棋局中有個棋子升變了、但升變出來的棋子又被吃掉了」
這樣的一種在最後的棋盤上並沒有留下蹤影的、容易被解謎者忽略的狀況。
可是只知道這樣還是不足以確定本來題目希望的結構是什麼。

根據我手邊的數據，Plaksin 大概每出 64 題就會有一題是錯的，
這大概在許多出題名人之間不算特別好也不算特別差啦，
在平均值附近。

最後，雖然我不知道有沒有人想要嘗試來 Cook 題目，
但是照慣例寫文章都要附習題，
所以底下還是來一題這樣的東西好了。
這個也是我 Cook 過的一道題目。

（習題）Kornilow（1992）：

８　　　　　　╳╳╳
７　　　　╳╳　╳╳
６　　　　　　　╳╳
５　　　　　　╳╳╳
４　　　　　　　╳╳
３　　　　　　　　　
２　　　　　　　　　
１　　　　　　　　　

　　ａｂｃｄｅｆｇｈ

問題（原本的）：請在上圖打叉的地方放入兩個國王、一個城堡和 11 個小兵，
將棋子著色，並且求出最後兩個單步。

對於這個習題，各位要做的事情如下：

找出這個題目的兩種不同的解答，
請記得，要證明那兩種解答都能成立，
唯有的辦法是針對兩種答案各寫一個棋譜出來證明都是合法的！
當年我確實這麼做了。

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