毛毛蟲爬繩子的問題 - 推理遊戲

不好意思 刪光光


題目：有一繩長100m，一端有蝸牛一隻以每分鐘1m速度向另一端爬行。
惟當蝸牛開始爬行後，每整分時繩子均勻拉長100m，試問蝸牛是
否能走到終點？

試解：

1.由於繩子是均勻拉長，所以蝸牛走過的路程佔繩子總長的比例
永遠不會減少。

2.第一分鐘蝸牛走了1m，佔總長的1/100。一分鐘整時繩子拉長
為200m，蝸牛走過的路程為1+1m，依然佔繩長的1/100。

3.第二分鐘蝸牛走了2+1m，佔總長的3/200。二分鐘整時繩子拉長
為300m，蝸牛走過的路程為2+1+1.5m，依然佔繩長的3/200。

4.前n分鐘蝸牛走的路線百分比總和為：

1 1 1 1 1 1
----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ........ -----
100 200 300 400 500 100n

1
= ----- ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n )
100


5.蝸牛走完全程，即上式>100%，即：

1
----- ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n ) > 1
100

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/n > 100


6.由於1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n 發散，必存在n使總和
大於100。故，蝸牛可以走到終點。



PS.

將1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ...... + 1/n
與1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...... 兩無窮數列做比較

由於 1/3 + 1/4 > 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8 > 1/2

又1 + 1/2 + 1//2 +.....發散

故無窮數列1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....... + 1/n 發散

n必存在某數 可使數列總和 > 100


PS2.

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8..... + 1/n > 100
_________ _____________________

> 1/2 > 1/2

需要200個1/2才會大於等於100
扣掉數列前兩項 1 , 1/2 還需要197個
2+4+8+16+............+2的x次方
在x=197時 數列總和+2即為原題蝸牛走到終點的秒數
(近似啦)


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