機率 - 拼圖

※ 引述《EIORU ()》之銘言：
: 籃球比賽 每隊都須打滿80場 目前
: A隊 56勝18敗 處於領先
: B隊 56勝19敗
: C隊 54勝19敗 和A隊還有1場比賽
: 1.請問三隊打到結束時 第一名的機率各為多少?(平手則A勝B,B勝C)
: 2.前一題的三個答案總和是否為100%? 為什麼?

首先先分成兩種情況來討論會比較方便

1.A和C打完 C獲勝 50%

2.A和C打完 A獲勝 50%

因為這樣接下來這三隊的勝場數變成獨立事件，較好算

第一種情況

A隊 56勝19敗 剩5場
B隊 56勝19敗 剩5場
C隊 55勝19敗 剩6場

令三個隨機變數

X:A隊5場中的勝場數
Y:B隊5場中的勝場數
Z:C隊6場中的勝場數

三種機率都是呈現binomial(二項)分布，p=50%，且互相獨立

A勝的機率 = P(X≧Y , X≧Z-1)

5
= Σ P(X=k , Y≦k , Z≦k+1)
k=0

5
= Σ P(X=k)*P(Y≦k)*P(Z≦k+1) , ∵獨立
k=0

= p^16 * 34020 , //直接用程式下去跑了...


B勝的機率 = P(Y>X , Y≧Z-1)

5
= Σ P(Y=k , X<k , Z≦k+1)
k=1

= p^16 * 21924


C勝的機率 = P(Z>X+1 , Z>Y+1)

6
= Σ P(Z=k , X<k-1 , Y<k-1)
k=2

= p^16 * 9592


第二種情況跟第一種類似，我就直接打結果了

A勝的機率 = p^16 * 53320

B勝的機率 = p^16 * 11134

C勝的機率 = p^16 * 1082


最後總結

A勝的機率 = (p^16 * 34020)*50% + (p^16 * 53320)*50%

= p^16 * 43670

≒ 66.64%

B勝的機率 = (p^16 * 21924)*50% + (p^16 * 11134)*50%

= p^16 * 16529

≒ 25.22%

C勝的機率 = (p^16 * 9592)*50% + (p^16 * 1082)*50%

= p^16 * 5337

≒ 8.14%

以上

--