杜鵑花節-數學系有獎徵答 2010 - 拼圖

※ 引述《jurian0101 (小維)》之銘言：
: 3. m, n 為質數，且n^2 + 3nm + m^2 為完全平方數。找出所有解。
: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

n^2+3nm+m^2是完全平方數
令n^2+3nm+m^2 = k^2
(m+n)^2+mn = k^2
(k-m-n)(k+m+n) = mn

由於m,n是對稱的，意即m,n互換其結果不變
故先假設m>n，互換後可得另一組解

mn都是是質數 故拆解其乘積 只有 m*n 或mn*1 兩種可能
第一種情況:
k+m+n=m
k-m-n=n
解得m=-3n, 不合

第2種情況
k+m+n=mn
k-m-n=1

2m+2n=mn-1
mn-2m-2n+4=5
(m-2)(n-2)=5
m-2=5, m=7
n-2=1, n=3

(7,3)或(3,7)得二解



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