方塊貼貼紙的機率問題 - 魔術方塊

※ 引述《rehearttw (易懷)》之銘言：
: ※ 引述《blausea ( )》之銘言：
: : 推文太累，.......
: : 這樣說好了，先將問題簡化，
: : 如果考慮用 3 個白色的貼紙， 和 3 個黑色的貼紙，
: : 去貼一個 1*1*1 的立方塊，
: : 按照上面的邏輯，
: : 方法數應該是， 6!/(6*4*3!*3!)
: : 但，這個數不是整數啊，
: : 所以，那樣的算法是有問題的。
: : 他的方法數其實只有兩種。
: : 會發生問題，是在於因為有相同的色塊，
: : 會造成某些時候，圖形有對稱，要分開討論。
: : 可是，對原來的問題而言，
: : 要討論，他的情形有太多種了，
: : 討論絕對不是一個好的方法。
: : 所以，.....我就不會了。
: 當有數學專家來解答時，答案就會豁然開朗
: 感謝 blausea 數學老師的指點
: 還有板上各位高手的引導
: 這樣大家就越來越厲害！
: 本來我是不想碰這一題，因為我知道我算不出來
: 其實我是可以算出來的，但是 CASE 相當多
: 要分類處理很花時間
: 但是高手都出來討論了，我也來提供我的想法
: 首先，我要問一個環狀排列的問題
: 6 個人排成一列，為什麼是 6!/6 = 5! ？
: 理由高中課本上都有寫，只考慮左右，不考慮位置
: 所以 ABCDEF 跟 BCDEFA、CDEFAB、DEFABC、EFABCD、FABCDE 這六種在環狀中視為相同
: 「每六種視為同一種」，所以 6!/6
: 這裡有個關鍵：「每六種視為同一種」
: 如果題目改成 A A B C D E 環狀排列呢？
: 那就沒這麼簡單了
: 有人想，是不是 6!/6/2 呢？（想想看....）
: 關於立體的環狀排列
: 最典型的題目是：用六個不同顏色去塗一個方塊
: 每面用一種顏色，而且顏色均不同，共可能塗出幾種方塊？
: 這題的答案是：6! / 6 / 4
: 除以 6 大家都知道，除以 4 可能有人就有疑惑了
: 其實環狀排列除了「旋轉法」之外，還有「定位法」
: 就是固定某一面（或某一人）不動，考慮其他的排列法
: 所以除以 6，其實是固定某一面（例如白色）在上面 U
: 這時候剩下的五面的環狀，就會變成 5! / 4
: 注意是除以 4，不是除以 5（不是隨便套公式）
: 是因為前面 F 面有 4 種旋轉可能性
: 頂面 U 固定了，底面 D 是不會跑到 F 的
: 同樣的，如果題目改成
: 用 5 種顏色塗方塊，其中白色用兩次，其他顏色各用一次
: 可以塗出幾種方塊？
: 各位可以發現原來題目的困難度，在於除以幾...
: 為什麼要除以 6，除以 4？
: 是因為 6 或 4 種環狀視為相同
: 但是，加入有同樣顏色的可能性之後
: 就不是單純的除以 6 而已
: 如同 blausea 老師所說
: 3 黑 3 白塗一個方塊，是 6!/(6*4*3!*3!) 嗎？
: 這樣，就太過簡化這個問題了，答案也是有問題的
: 問題在於沒有考慮相同顏色
: 也就是 blausea 老師說的「圖形有對稱，要分開討論」
: 所以我先以我的想法，來解 3 黑 3 白的問題
: 頂面放黑色（你要放白的也可以）
: 接著底面可以有黑、白兩種選擇
: (1) 若選黑，剩下 1 黑 3 白塗 F R B L 面，只有一種可能
: (2) 若選白，剩下 2 黑 2 白塗 F R B L 面，有 2 種可能（黑相連、黑白間隔）
: 所以答案就是 3 種囉？
: 很抱歉！答案是錯的！
: 實際上只有兩種：三黑一直線、三黑均相連 兩種
: 但為什麼上面 (1) (2) 加起來會有3種呢？（這就是公式考慮不到的地方）
: 因為 (1) 的答案，必為「三黑一直線」型
: 而這種會在 (2) 裡面出現
: 所以不能僅由公式或傳統算法來分類而已
: 意思就是說，不要想只有一個式子就把答案算出來

1*1*1塗3白3黑

use Burnside's formula

G=S_4

(1/4!)(6!/(3!3!)+3*4+8*2)=2

: 最後提出一題手環題，就可以知道原始題目的困難度
: 拿七個一樣形狀大小的珠子：黑 黑 白 白 紅 綠 黃
: 串在一條繩子上當手環，總共可以串出幾種手環？
: （這兩天監考，有東西可以想了）

use Burnside's formula

G=D_7

(1/14)(7!/(2!2!)+7*3*3*2*2)=108

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http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma

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