數學題（P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2） - 拼圖

※ 引述《jurian0101 (小維)》之銘言：
: 有一個實係數多項式 P(x) ， deg P(x)= 2n (n是正整數)
: P(x)的值域是 正實數集。
: 試証明總可以找到某對 實係數多項式 Q(x)、R(x)，
: 使得 P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2

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因為P(x)的值域是正整數
所以P(x)=0沒有實根
若a+bi是方程式P(x)=0之一根
x=a+bi → (x-a)^2+b =0
P(x)可以分解出(x^2-2ax+a^2+b)這個因式
同樣的我們可以把P(x)分解成很多二次式的積
且這些二次式判別式都小於0

注意到這樣的二次式可透過配方表示成兩個實係數多項式的平方和
像 x^2+2X+5 = (x+1)^2+(2)^2
又(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
表示兩個可表示成兩平方和的式子相乘仍可表示成兩平方和
用數學歸納可知P(x)可以表示成兩平方和
QED

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剛看到的時候一直朝用x^n配方去想
忽然發現沒有實根就豁然開朗
感覺是很可愛的一個題目欸

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