數學題 - 數獨

有一個實係數多項式 P(x) ， deg P(x)= 2n (n是正整數)

滿足P(x)的值恆大於零。

試証明總可以找到某對 實係數多項式 Q(x)、R(x)，

使得 P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2

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這是大前年某大杜鵑花節某系拿來作有獎徵答考高中生的題目。

使用的技巧全部是數學的，但解起來真有點Puzzle的味道。

解開也有類似數獨解謎完了的一份快感。


我自己想了快四天，然後忽然就瞭了。在此炫耀一下，爽啦(ed)。



期待各位對本題的秒殺、肢解、碾碎、鮮血淋漓碎骨亂飛腦漿四溢.......PUZSAW!!

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參考解答(開燈):

遇到分解式，先有什麼想法呢？ 二項式定理......無窮級數，淘汰。
那泰勒展開式......一樣無窮級數，淘汰。

那我令 Q(x) = P(x)*siny R(x) = P(x)*cosy 好了
謎音: 廢柴！那還是無窮級數。

接下來想的和企鵝大類似，開始設a1 a2 a3 a4 開始配方。於是進入長達三天的
無限鬼打牆

然後某論壇的某h大指出了重點(雖然沒提出具體解法) － 從題目的條件可以看出
偶次多項式領導係數為正，然後k次微分...(略)...沒有實根!!!!!!

好吧。跟解謎語差不多，當你知道關鍵在無實根大概就解出來了。

意思是: P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2，何不這樣「分解」

= [Q(x)+iR(x)]*[Q(x)-iR(x)]
ˍ ˍ ˍ
P(x)恆大於零，表示方程式P(x)=0 必有N 對共軛虛根。設他們為 z1z1 z2z2 z3z3...
ˍ ˍ
重根完全沒有關係，於是P(x)=(x-z1)(x-z1)(x-z2)(x-z2)...

於是Q(x)+iR(x) = 以上每對括號任選一，乘開後實部虛部分離，就是兩個現成的實係數

多項式。怎麼知道這樣的Q(x)、R(x)滿足要求呢？只要看沒選到的另一半是這一半的共軛

而Q(x)-iR(x) 和 Q(x)+iR(x) 亦互為共軛就知道QED了~~~^^

又從這個構造解法我們可以知道若沒有重根，滿足條件的Q(x) R(x)最多有 2^N種

蠻直截了當又可愛的解法不是嗎。


= = = = = = = = = = = = = = =以上解答的分隔線= = = = = = = = = = = = = = = = =

謝謝EIORU大與企鵝大的解答。




※ 編輯: jurian0101 來自: 218.164.22.129 (01/31 20:36)