數學漩渦謎題（plutopuzzles） - 拼圖

※ 引述《tw00088437 (喵貓 loves fish)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: tw00088437 (喵貓 loves fish) 看板: Math
: 標題: [其他] 數學漩渦謎題
: 時間: Fri Aug 28 16:32:00 2009
: http://www.plutopuzzles.com/puzzles/maelstrom/maelstrom.htm
: 嗯我剛爬了文 好像沒人發過@@
: 而且感覺這是純數學 不是邏輯推理類 所以發來這了QQ
: 簡單來講這是crossword puzzle縱橫字謎的數學版
: 有人有興趣一起解+討論嗎@@
: 點進去有18個puzzle
: 可以印出來 或是拍下來用小畫家寫答案(我好陽春 = = 有人有更方便的方法嗎)

那我來貼個比較難(?)的題目的詳解好了 XD

(在批兔上邊解邊打 打完再貼過來的...所以沒什麼批幣賺 XD)

#12 descriptive puzzle

Ａ□Ｂ■ＣＤＥ■Ｆ　Ａ是１２的倍數　　　　Ｋ是Ｈ的數字和　Ｓ是Ａ的數字積
■■ＧＨ■Ｉ□□□　Ｂ是質數　　　　　　　Ｌ是平方數　　　Ｔ是質數
Ｊ■Ｋ□■■□■□　Ｃ是質數　　　　　　　Ｍ是立方數　　　Ｕ是平方數的３倍
□■■Ｌ□Ｍ□■■　Ｄ是它的數字和的３倍　Ｎ是迴文數　　　Ｖ是Ｃ的倍數
Ｎ□Ｏ□■Ｐ□□Ｑ　Ｅ是立方數　　　　　　Ｏ是立方數　　　Ｗ是Ｑ的數字和
■■Ｒ□□□■■□　Ｆ是迴文質數　　　　　Ｐ是平方數　　　Ｘ是平方數
Ｓ■□■■ＴＵ■□　Ｇ是７的倍數　　　　　Ｑ是７的倍數　　　又是三角形數
Ｖ□□Ｗ■Ｘ□■■　Ｈ是迴文數　　　　　　　且反過來讀　　Ｙ是其數字的立方和
□■Ｙ□□■Ｚ□□　Ｉ是Ｄ平方的倍數　　　　仍是７的倍數　Ｚ是連續三數的乘積
　　　　　　　　　　Ｊ是Ａ的一個因數　　　Ｒ是Ｚ的倍數　　

表中直的有ＢＤＥＦＨＪＭＯＱＳＵＷ，橫的則有ＡＣＧＩＫＬＮＰＲＴＶＸＹＺ

以下當然有雷

(說是比較難，其實有些提示根本就告訴你某些數是多少了XD ←例如這個表情中的X和D

不像給關係式的那種題目一開始只會知道幾個首位或末位

比較難一點的是那些只說是平方數/立方數/質數/迴文數的那種提示)























首先是Ｄ，一個兩位數 10a+b = 3(a+b) => 7a = 2b => a:b = 2:7

所以Ｄ只能是２７。
2
而Ｉ以７開頭，且是２７ ＝７２９的倍數，只能是７２９ｘ１０＝７２９０

由此，Ｆ是？０？的形式，又是個迴文質數，故Ｆ＝１０１。

3 3
ＥＭＯ三個數都是五位數的立方數，故它們都只能是２２ 到４６ ：

ｎ　| 22 23 24 25 26 27 28 29 30
立方| 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000,

ｎ　| 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
立方|29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000,

ｎ　| 41 42 43 44 45 46
立方|68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97336

考慮Ｅ，千位數是２，而萬位數是一個三位質數Ｃ的個位數，只能是１３７９，

故只有１２１６７、３２７６８兩數符合條件。

（ＭＯ稍後再看）

次一個目標是Ｘ，是平方數又是三角形數的兩位數只有３６一數

於是再看上表，得知Ｍ只能是１９６８３，５０６５３兩個可能，

但因為Ｐ的首位不能是０，所以Ｍ＝１９６８３，

因此Ｒ的個位數是６，Ｌ的末二位是１６，Ｔ的首位是８。

由Ｔ是質數知Ｔ＝８３或８９，故Ｕ為３６？或９６？，

又知它是平方數的３倍，故除以３得１２？或３２？，

其中有１２１和３２４是平方數，但３２４的３倍為９７２，

故知Ｕ＝１２１ｘ３＝３６３，即Ｔ＝８３，Ｚ的首位是３。

因此我們知道某三個連續數的乘積是三百多，

3
將３００開立方得約６點多，又知７ ＝３４３，

故知Ｚ應為６ｘ７ｘ８＝３３６。

Ｑ是正反讀都是７的倍數，

而我們也知道一個三位數和它的倒反的差會是９９的倍數，

因此這個差就會是７ｘ９９＝６９３的倍數，因此是０或６９３，

也就是說此數的首尾差會是０或７。

Ｐ是個９開頭的四位平方數，因此只能是９５以上的平方，
2
再考慮Ｅ的尾數只能是７或８，故知Ｐ只會是９８０１（９９ ），

且Ｅ是尾數８的答案，即３２７６８。

因此Ｃ是以２３結尾的質數，一共有２２３，５２３，８２３三個。

Ｌ是以１６結尾的四位數平方數，搜尋後知只有２１１６、２９１６、９２１６三解，

考慮到Ｌ的首位是迴文數Ｈ的正中間，若這個中間值是２則無法決定Ｌ為何，

因此可知Ｌ＝９２１６。

回到Ｑ，已知首位是１，且首尾差是０或７，所以Ｑ是１？１或１？８。

這些數中７的倍數有１６１及１６８兩數，但僅有１６８會使Ｑ的數字和Ｗ為兩位數，

因此Ｑ＝１６８，Ｗ＝Ｑ的數字和＝１５。

再來是Ｙ，這種性質的數被稱做 Narcissistic number

(每位數的N次方和等於自己, 其中N為數字位數)

http://en.wikipedia.org/wiki/Narcissistic_number

由此可知Ｙ只能是１５３、３７０、３７１、４０７四個之一，

又知Ｙ的十位是５，故Ｙ＝１５３。

因此Ｏ是個位為１的五位立方數，查上表知只能是２９７９１、６８９２１兩數。

由Ｖ是Ｃ的倍數知？２３的某倍是？？９１或？？２１，

再由個位數可判斷是？７倍。

因？２３ｘ７＝？？６１、？２３ｘ３７＝？？５１皆不合，

故只能是１７或２７倍。

（４７倍的話Ｖ最小是２２３ｘ４７＝１０４８１不合）

因此列出可能性共有：

２２３ｘ１７＝３７９１、２２３ｘ２７＝６０２１、５２３ｘ１７＝８８９１。

看Ｒ，由Ｏ的千位知Ｒ＝９？？６或８？？６且是３３６的倍數，

只有３３６ｘ２６＝８７３６一解。

於是知Ｒ＝８７３６，Ｏ＝６８９２１，Ｖ＝６０２１，Ｃ＝２２３。

由Ｈ是迴文數知道是７？９？７，因此數字和Ｋ是２３＋２ｘ？，尾數也是？，

於是得到？＝７，Ｈ＝７７９７７，Ｋ＝３７，Ｎ＝７６６７。

（其實若不使用使Ｌ有唯一解的理由，因此不知道Ｈ中間是２或９，也可以如此做：

　若中間是９則？＝７→Ｈ＝７７９７７，Ｋ＝３７；

　若中間是２則？＝４→Ｈ＝７２４２７，Ｋ＝２２。

　但因為Ｂ是三位質數，末位不能是２，故只能是Ｋ＝３７的解，

　這樣亦可得到中間是９，Ｌ＝９２１６。）

Ｇ是個位是７的兩位７的倍數，只能是７７。

於是由Ｂ是質數得Ｂ＝１７３、３７３、６７３、７７３。

但因為Ａ是１２的倍數，故Ａ是偶數，於是Ｂ只有６７３一解。

最後剩下Ａ、Ｊ、Ｓ的連鎖條件，

為此列出所有個位是６的１２的倍數：

１５６、２１６、２７６、３３６、３９６、
30 12 84 54 162
４５６、５１６、５７６、６３６、６９６、
120 30 210 108 324
７５６、８１６、８７６、９３６、９９６。
210 48 336 162 486

半形數字是對應的Ｓ值，再考慮到Ｓ是三位數且十位為６，

僅有Ａ＝３９６或９３６，Ｓ＝１６２合。

2 2
因數分解３９６＝２ ｘ３ ｘ１１，要得出個位為７的因數是不可能的；

3 2
９３６＝２ ｘ３ ｘ１３，容易湊出唯一的個位為７的三位因數為１１７。

到此已全部解完，最終盤面如下：

９３６■２２３■１
■■７７■７２９０
１■３７■■７■１
１■■９２１６■■
７６６７■９８０１
■■８７３６■■６
１■９■■８３■８
６０２１■３６■■
２■１５３■３３６


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**** 說:
不要期望一個精神力差不多已經見底的人阿Orz

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