情境式問題：問題商品 - 拼圖

※ 引述《Akerker (阿克克(*〞︶〝)/)》之銘言：
: 推 hirabbitt:11、17、20、22、23、24 這串數字怎麼來的 試誤? 07/25 17:24

這有個非常有系統的試誤法。

想像每一罐都拿出大約一億顆豆子，一看重量馬上就知道幾罐有問題，
因為一億實在太多了。例如有兩罐有問題，那大概就是兩億。接著如果每罐
拿出的數量差一點點，我們只要看跟兩億差多少逆推哪兩罐壞掉就好。簡單
來說，我們假設可以拿出足夠多的豆子，先判斷有幾罐壞掉。

就先假設拿出最多顆豆子的罐子拿了 X 顆吧，我們先算出一個 X 夠大
時的可行方案，再逆推在那個方案下 X 至少要多少才能「先判斷壞幾罐」。
所有罐子拿出來的豆子就以 X - a_i 表示。由大到小排列，第一罐就是 0
因為拿了 X - 0 顆豆子。1 代表拿了 X - 1 顆。以下從只有一罐開始列出
所有的重量組合。壞 N 罐後面有個數字 Y 代表數量 N*X - Y 可能會發生。
這罐要碼有壞或是沒壞，所以數量是 0 或 X - 0, 也就是

壞 0 罐： 0 (代表 0 = 0 * X - 0)
壞 1 罐： 0 (代表 X - 0 = 1 * X - 0)

第二罐加上去後不能讓同一列之中有重複的數字，發現到數字 1
(代表 X - 1) 符合。也就是壞一罐時可能是 X - 0 或 X - 1, 壞兩罐時
2X - 1.

壞 0 罐： 0
壞 1 罐： 0 1
壞 2 罐： 1

在前兩罐不變的情況下，第三罐可以取的最小值是 2

壞 0 罐： 0
壞 1 罐： 0 1 2
壞 2 罐： 1 2 3
壞 3 罐： 3

再來是 4. 如果取 3 的話壞 2 罐時有兩個 3.

壞 0 罐： 0
壞 1 罐： 0 1 2 4
壞 2 罐： 1 2 3 4 5 6
壞 3 罐： 3 5 6 7
壞 4 罐： 7

再來是 7 和 13

壞 0 罐： 0
壞 1 罐： 0 1 2 4 7 13
壞 2 罐： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 17 20
壞 3 罐： 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24
壞 4 罐： 7 10 12 13 14 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26
壞 5 罐： 14 23 25 26 27
壞 6 罐： 27

現在來逆推這種方案下 X 至少要多大才不會讓數字相撞。這邊一個簡單的
偷懶作法就是讓數字的範圍不會相撞就好啦。例如壞 3 罐最多有 3*X - 3 顆，
壞 4 罐最少有 4*X - 26 顆，只要讓 X 比 26-3 大就好。基本上就是看頭尾
取差：

壞 0 罐： 0
壞 1 罐： 0 1 2 4 7 13
壞 2 罐： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 17 20
壞 3 罐： 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24
壞 4 罐： 7 10 12 13 14 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26
壞 5 罐： 14 23 25 26 27
壞 6 罐： 27

要比 13-0, 20-0, 24-1, 26-3, 27-7, 27-14 都還多... X 取 24 就可以
讓所有數字範圍分開啦。這六罐就是：

24-0=24, 24-1=23, 24-2=22, 24-4=20, 24-7=17, 24-13=11

（我沒有寫程式幫我算，難免過程有錯，請大家不吝指正）

如果有 100 罐豆子，也不要寫程式了，請看 OEIS A005255 和 A005318.

--