情境式問題：計畫生育 - 拼圖

　First Question 　

　　　太陽系附近有一顆恆星，它有個行星叫「拜倫尼亞」，上面有一種類似人類的生物
　；但和我們最大的不同是，拜倫尼亞人有三種性別，大約相當於我們所謂的雄性、雌性
　和雙性。
　　　由於雙性人是雌雄同體，兼有兩種性器官，因此可扮演任何一種性別角色，也有生
　育能力。當一位母親（雌性或雙性人）生產時，新生兒性別的機率各為三分之一。
　　　拜倫尼亞的新任首領馬齊司默，是一個性情激烈的男人，在打敗雙性人叛軍之後才
　奪權。上任後，他頒布了一道禁令：每位拜倫尼亞的母親，一旦生下一個雙性孩子便必
　須絕育，以後不能再生小孩。其他的母親則必須持續生產，直至生出雙性的後代。
　　　馬齊司默的想法很簡單。在生出一個雙性小孩之前，有的母親可能已經生出一個、
　兩個甚至更多的雄性或雌性小孩，因此雙性小孩所佔的人口比例降低，假以時日，只要
　從嚴執行這項管制，雙性人口便會穩定的減少。

　　　你認為這項禁令有用嗎？

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　First Answer 　

　　　最高統帥的禁令無效！
　　　考慮所有第一胎的小孩。雄性、雌性和雙性各佔三分之一。所以有三分之一的母親
　在第一胎產下雙性小孩後便絕育了。
　　　其餘三分之二的母親會生第二個小孩，一樣有三分之一是男孩、三分之一是女孩以
　及三分之一是雙性。這些生了雙性小孩的母親也不再生產。
　　　以此類推，剩下的母親還可以生第三胎……。
　　　這種過程顯然可以涵蓋所有的家庭，無論家庭的成員數目有多少，所有小孩的性別
　比永遠是1：1：1。


　Second Question　

　　　假設這項禁令維持一千年，而所有母親的壽命都夠長，也有足夠健康的身體以不斷
　生小孩，直至生出雙性小孩而被絕育為止。

　　　那麼，在這一千年當中，每位拜倫尼亞的母親平均生了多少孩子呢？

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　Second Answer　

　　　假設ｎ是在千年之間生育的母親數目。
　　　ｎ×1＝ｎ　　　　　　　　　　　……第一胎的小孩數目
　　　ｎ×2/3＝2ｎ/3　　　　　　　　 ……第二胎的小孩數目
　　　ｎ×2/3×2/3＝4ｎ/9　　　　　　……第三胎的小孩數目
　　　ｎ×2/3×2/3×2/3＝8ｎ/27　　　……第四胎的小孩數目
　　　……
　　　因此，小孩的總數目是：ｎ＋2ｎ/3＋4ｎ/9＋8ｎ/27＋……
　　　這個無窮等比級數的總和是3ｎ，而母親總數是ｎ，因此每位拜倫尼亞母親的平均
　孩子數目是3ｎ/ｎ＝3（個）。

　Third Question　

　　　上列答案的處理方式似乎不太必要。你能不能想出一個比較簡單、完全不使用代數
　公式的思考方法？



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　Third Answer 　

　　　從First Answer已經推知，三種性別的小孩比例永遠保持1：1：1。在禁令施行以
　後，每個母親必然仍擁有一個雙性小孩，而為了確保三種小孩性別之間的比例不變，雄
　性與雌性小孩的平均數目也必須是一個，才能符合。
　　　因此，每個母親平均擁有的小孩數目是三個。

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