幾個數學問題11 - 拼圖

※ 引述《EIORU ()》之銘言：
: 1. 假設有一袋球 從裡面連續拿出10顆紅球的機率是 1/5
: 如果現在有四袋內容相同的球倒在一袋 從袋裡面連續拿出10顆紅球的機率是?
: (1) 1/5 (2) 1/20 (3) 1/625 (4)其他答案:_____

: 推 walkwall:第一題如果紅球拿了放回去才是五分之一吧 不是的話應該 06/17 13:01
: → walkwall:略大於五分之一 06/17 13:01

: 推 stimim:第一題我還沒有找到正整數的紅球和總球數讓機率是 20% @@ 06/17 15:20
我也是想了好久也沒找到...倒是滿快就找到 1/6 的組合 (12球中有11球紅球)

假設真的找得到好了 令它是 B 球中有 R 個紅球

那麼我們有

1 R(R-1)(R-2)...(R-9)
--- = -------------------
5 B(B-1)(B-2)...(B-9)

然後當四袋相同內容倒在一起後 連拿 10 顆紅球的機率是

4R(4R-1)(4R-2)...(4R-9)
-----------------------
4B(4B-1)(4B-2)...(4B-9)

但是我們知道

R 4R 4R-1 4R-4 R-1 4R-2 4R-8 R-2
--- = ----；---- > ---- = ---；---- > ---- = ---；...
B 4B 4B-1 4B-4 B-1 4B-2 4B-8 B-2

所以上面兩個機率 後者大於前者 因此它會大於 1/5

於是所給三個選項都不對...

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順帶一提, 以下是利用 Gamma 函數得到的幾個近似解的計算:

(B = 99, R = 85) 前者是 20.085% 後者是 21.631%

(B = 200, R = 171) 前者是 20.068% 後者是 20.801%

(B = 994, R = 847) 前者是 20.023% 後者是 20.169%

極限值會往 1/5 前進

這可以這麼解釋: 在球的數量很大時 拿球放不放回去已經不是重點了

因此 R/B 會接近 (1/5)^(1/10)≒85.134%

這樣一來 即使球數變成四倍 每一次拿到紅球的機率還是這個數字

因此這個數值依然會逐漸接近 1/5

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いああオレたちには見えてるモノがあるbデ きっと誰にも奪われないモノがあるはずさ
け 開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢 歪も
ぶ 　意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの
く 依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生 ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛 だが
ろ 無意味じゃない ラ6あの意図が 恋た
で 有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私 のり

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