平方問題 - 拼圖

答案的確是29個

<i>先證明31個(含)以上不可能

1^2+2^2+3^2+...+31^2 = 31*32*(31*2+1)/6=10416 > 10000

31個以上不可能，證明完畢

<ii> 證明30個不可能

1^2+2^2+3^2+...+30^2 = 9455

假設從1到30抽出一個數的平方，再加上1到30以外的一個數的平方，恰好等於10000
這樣還能維持在30個
假設1到30內的數為a，到30以外的一個數為b

9455-a^2+b^2=10000
b^2-a^2=545
(b-a)(b+a)=545
兩種可能
b+a=109，b-a=5，解出b=57，a=52(不合)
b+a=545，b-a=1，b=223，a=222(不合)

無解

考慮假設從1到30抽出m個數的平方，再加上1到30以外的m個數的平方，恰好等於10000
這樣還能維持在30個

(b_1)^2+(b_2)^2+...+(b_m)^2-[(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_m)^2] = 545

[(b_1)^2-(a_1)^2]+[(b_2)^2-(a_2)^2]+...+[(b_m)^2-(a_m)^2] = 545

列出(b_n)^2-(a_n)^2的所有可能情況 where 1<=n<=m

差1:
(31+30)(31-30) = 61*1 = 61

差2:
(32+30)*(32-30) = 124
(31+29)*(31-29) = 120

差3:
(33+30)*(33-30) = 189
(32+29)*(32-29) = 183
(31+28)*(31-28) = 177

(仿照上式，以下為求精簡，不列算式了)
差4:256, 248, 240, 232
差5: 325, 315, 305, 295, 285
差6: 396, 384, 372, 360, 348, 336
差7: 469, 455, 441, 427, 413, 399, 385
差8: 無
附註：51-61=484, 545-120 = 425，差8(含)以上的不用討論，必不合

這邊要做一點苦工，找出有沒有幾個數加起來好為545？

找的方法不必每個都去加，譬如124就不可能和61相加，因為30重覆了

答案是無解...

雖然305+240=545 ，但305=33^2-28^2, 240 =32^2-28^2，28重覆了
而另一個組合 120+177+248 = 545，也因為31^2-29^2=120, 33^2-29^2=248，29重覆了
也無解

所以30個是不可能的

<iii> 證明29個有可能

9455+a^2-b^2-c^2=10000

a^2-b^2-c^2=545

這個解就好找多了

令c=2，則a^2-b^2=545+2^2=549

a+b = 61
a-b = 9

解得a=35, b=26

所求的其中一解為1, 3~25, 27~30, 35----#Ans

另一解，令c=12

則a^2-b^2=545+12^2=689=53*13
a+b = 53
a-b = 13

解得a=33, b=20

所求的另一解為1~11, 13~19, 21~30, 33----#Ans

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