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※ 引述《fishbudin (fishbudin)》之銘言：
: 好吧 那再來一題
: 這也是從 http://smartio.blogspot.com 來的
: 假設一架飛機加滿油後只能繞地球半圈。
: 不過好消息是飛機可以在空中互相傳輸油ꄊ: ㄙ`意，是互相給油喔，並沒有多出油來﹞。
: 假設傳輸油的速度都是即時的，就是說傳輸只需要不到一秒就完成了。
: 請問如果現在要讓至少一架飛機從任何一個飛機場出發，
: 繞地球一圈回到同個飛機場，至少要出動幾架飛機？
: 要怎麼安排？所有的飛機都必須從同樣的機場出發，
: 並且回到原機場，中途不得降落，中間也沒有其他機場。
看到SansWord的答案我發現我下面有個地方沒想到

所以以下是錯的

錯在哪裡大家可以找找看 XD

不過大致上只要改一點地方就能證明四架不行了

所以SansWord的答案應該是正解
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我的答案是六架

以下先提一個方案:

把六架編號ABCDEF

路上的幾個點以下圖標記

距離 1/6 1/9 1/2 1/18 1/6

位 5/18 7/9
置０ 1/6 1/3 5/6 １
├──┼─┼┬───────┼┼──┤
起 Ｐ ＱQ' ＲＳ 終
點 點
耗油 1/3 2/9 1 1/9 1/3 (設加滿是1)

(Q'點後半段的證明會用)

首先 ABC三架飛機加滿起飛

到了P點 三架都用掉1/3的油

這時C把1/3的油給B 把B加滿 自己剩1/3剛好夠回程

AB兩架再飛到Q點 又各用掉2/9的油

這時A的油剩4/9 B的油剩7/9

B把5/9的油給A 把A加滿 自己剩下2/9回航 只剛好夠回到P點

於是在適當的時間讓D加滿起飛 使得BD兩架在P點碰頭

這時D把1/3的油分給B 自己也剩1/3 兩架剛好夠回程

從Q點開始獨自飛的A 滿油可以飛到R點

在這之前 在某個適當的時間讓EF加滿反向起飛 (也就是從終點往回走)

兩台各用去1/3到了S點時 F把1/3的油給E加滿 自己回程

E又用去1/9飛到R點

EF起飛的時間是要使得這時讓AE在R點碰頭

在這裡A剛好沒油 E還有8/9的油 兩架平分 各4/9 剛好夠飛到終點

===============================================

再來證明五架不行

以下稱飛完一圈的那架叫A

1.如果不派反向的飛機的話(即上面的E,F)

最後幫A加油的飛機(叫它X)回程途中必須讓其他台飛機來加油

否則X飛不回去

要使派出去接X的飛機數量最少 那必須讓X再用掉2/3的油才能碰頭

(這樣只需派一架飛機接X)

也就是說 在行程的中點 兩台飛機上至少要有1+2/3的油量

加上他們飛到這裡來各耗去一箱油 共計要花去3+2/3的油

這多出的1+2/3得靠別台飛機接濟 因此至少還要再派兩架

但是這時4架飛機起飛後一共只有4箱油

多出的1/3的油所飛的距離顯然不夠把所有的油都堆進A和X裡

因此還至少得再多派一架

於是以上總計已經至少有六架了 也就是在不派反向飛機的情況下至少也要六架

2.如果像上例一樣派反向飛機

顯然X和反向最後和A碰頭的飛機(叫它Y)飛的距離和=半個地球的兩倍

也就是說 X和Y一共花去2箱油

但因為A飛一圈也要2箱油 因此至少要再派兩架出去(無論正反向)

(一架不夠的原因是因為所需要的油還差一整箱 只派一架的話那一架自己飛不回來)

因此這裡至少已經有五架飛機

2-1.如果反向只有一架Y 那接人的點最遠是上圖的S點

(因為一箱油要飛這距離三趟)

這時正向的飛機就得把A送到上圖的Q'點

2-1-1.若假設X在送完A後一路飛回去

那A和X在Q'點分開時 兩台飛機上一共要有1+2/3箱油

加上飛到這裡需要的2/3*2=4/3箱油 共計需要三箱

因此正向至少要有四架 (A和X一共需要三箱 只派三架的話第三架飛不回來)

考慮四架中除A和X以外最晚離開A和X回航的飛機Z

Z最早也得在P和Q'的中點才能離開他們

因為最好的情況是Z離開後A和X都是滿的 但A和X到Q'點時得剩1+2/3箱油

也就是這段路A和X只能一共用去1/3箱油 各用去1/6

意即Z離開的點離Q'點至多用去1/6的油

那麼Z的來回至少要用掉(2/3-1/6)*2=一箱 這不算在A和X所用掉的三箱之中

表示如此的話正向四架不夠 (因為AXZ就用掉四箱了)

2-1-2.如果X像上面的B一樣有人(W)來接

W接X的點必定是P點 (理由同上)

那麼X就必須要從Q'點飛回P點 得用去1/3的油

也就是說在Q'點時A和X一共有1+1/3箱油

加上飛到Q'點用去4/3 A和X一共需要2+2/3箱油

類似上面的討論可知 Z離開A和X的點可以提早到P點

於是Z用掉的油量是2/3 AXZ一共用去3+1/3

但因為W不在一開始出發的飛機當中 它不能分擔那多出的1/3的油量

所以必須多派一架出去才行 這樣正向也會有五架

綜合2-1-1和2-1-2 我們知道反向如果只有一架 正向得至少要五架(包含A,X)

於是一共就至少要六架

2-2.反向的有兩架Y,Y'

這時由於Y接人的點可以拉到R點

(Y'最遠只能到S點 此時Y是滿的

但由於回程多了(兩)段耗1/3油的路 Y只能飛到R點接A)

X離開A的點就會是Q點

一樣分開考慮X一路飛回去或有W來接

2-2-1.X一路飛回去

X的回程需要5/9的油 故A和X分開時一共要有1+5/9的油

加上飛到Q點各5/9 一共是2+2/3的油

類似於2-1-2.的討論可知正向必須要有(包含A,X)四架才夠 (2-1-2.的W這裡沒有)

2-2-2.X有W來接

同樣的 W接X的點是P點

所以X在離開A時 AX一共有1+2/9的油

加上飛到Q點各5/9 一共用去2+1/3的油

再加上一台Z來幫忙的話 Z飛到P點折返 1/3的油給X 正好用去3箱油

(也就是最上面的那個方案)

所以這裡正向也有四架 (A,X,Z,W)

於是綜合2-2-1.和2-2-2. 正向至少四架 反向兩架 一共至少六架

2-3.反向三架:Y,U,V (怎麼好像某顏色表示法= =")

先看三架能把Y送多遠

如果三架是以一架一架接力的方式

V用掉1/4後各把1/4油給Y和U加滿

Y和U再各用掉1/4後碰到A 各分1/4給A 三台各1/2的油飛回去

這樣接A的點可以拉遠到終點往前1/4距離的地方

如果是YU先出 V最後來接U的話

U可以送Y到R點再返航 V一樣在S點接U

但Y只能再往前1/54的距離(用去1/27的油) 因為回程要用去1/27+1/9+1/3=13/27

所以接A的點拉遠到終點往前1/6+1/18+1/54=13/54 < 1/4

因此三架飛機Y,U,V可以把Y送到離終點1/4的地方

但若正向只有二架飛機A和X 則X只能送A到P點 (否則自己飛不回來)

而起點離P點只有1/6 總合1/4+1/6 = 5/12 < 1/2

讓A自己一架飛的距離是 1 - 5/12 = 7/12 > 1/2 太長

所以這情形也至少要3+2+1=六架

綜合以上 結論是五架是不可能的

而六架的做法已經給出 #

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打字打了好久...

證明是邊打邊想的 所以有錯請指教 @@

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'Oh, Harry, dont't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513

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