富翁的遺產 - 拼圖

※ 引述《weselyong (Wesely翁)》之銘言：
: 有一個非常富有的老翁臨死前把他的全部財產分成兩張支票
: 要給他兩個兒子，其中一張的面額是另一張的兩倍。
: 但是支票分別放在信封裡面。
: 老富翁說：
: 「你們看過之後可以決定要不要交換，前提是對方還不知道你這張的數字是多少的時候」
:
: 老大看到他拿到一千萬之後OS:
: 他那包比我大的機率是0.5，可能有兩千萬
: 比我小的機率是0.5，可能有五百萬
: 那我跟他換之後的期望值應該是1250萬！ 比我的1000萬多！當然換！
: 弟弟看到他拿到500萬之後也 OS一發：
: 哥哥可能拿到1000萬，機率是0.5
: 也可能只有250萬，機率是0.5
: 那我跟他換的期望值是 500 + 125 ＝ 625萬！比我的500萬多！當然換！
: 很明顯的其中必有詐
: 他們錯了嗎？

我有幾個意見

首先 這個遊戲不需要是大富翁 只要兩張紙 10元 跟 20元

也是成立的 因此 是無法從金額大小判出交換後容易虧還賺的

並且兩張紙可以隨意的選擇 所以 交換後賺和虧的機率都是一樣的:1/2


第二 我認為跟什麼事前事後機率無關 或是小弟我不了解數學中事前後機率的意義

這題目中只有發生一件事[交換] [交換]後用1/2 計算換兩種結果的期望值

這哪有什麼問題? ( 有的話請各位大大跟我說到底是哪邊不行 )


第三 先來看 到底這問題為何有詐 假設兄所拿錢是A 乙弟是B

換後期望值是 5A/4 與 5B/4 兩人總合期望會拿到 A+B + (A+B)/4

這多出來的是(A+B)/4 應該就是題目所說的"詐"吧


第四 請考慮這個問題 同樣條件 給兄弟一次機會擲一正反面為1/2的硬幣
出現正得紙上兩倍錢 出現反得紙上一半錢
請問要擲還不擲

大大若有空 自己擲看看 不管紙上寫多少錢 你真的會得到 5/4倍的錢

所以 5A/4 , 5B/4 , 5(A+B)/4 的期望值是沒有錯的

那麼 這個問題跟原題有什麼差 想必各位大大已經了解問題在哪邊了

此問題就是 兩人的賺賠並不是獨立的 是百分之百相關的

第四點中有可能出現 兩人均得兩倍錢的機率:1/4 兩人均賠也是1/4
(但是兩人都賺抵掉兩人都賠 還是有賺)

而原問題是不可能兩人都賺或都賠的 一人賺 一人必賠

因此不能分開算 5A/4 + 5B/4 = 5(A+B)/4

需算整組賺賠情形:

甲情形:兄A 弟B=2A 乙情形:兄B=2A 弟A (此兩種情形發生機會各為1/2)

不換:A + B = A + 2A = 3A

換後兄得 弟得 換後兄得 弟得
↓ ↓ ↓ ↓
換: 1/2*( 2A + B/2 ) + 1/2*( B/2 + 2A ) = 2A + B/2 = 2A + A = 3A
兄賺弟必賠 兄賠弟必賺
甲情形 乙情形

故 根本沒有詐

故 我認為關鍵在於事件是可獨立發生或相關
(跟什麼事前事後機率哪有關ㄚ 還是這樣解已經有用到事前後機率的理論了?)

注:不管兄還弟 交換後賺與賠機率都還是1/2沒錯喔


有錯失處請大家指教嘿

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