好奇...轉方塊的大家 - 魔術方塊

我來稍微解釋一下

首先，魔術方塊的狀態並不是有限體，
而是有限非交換群（finite non-Abelian group）

體一定有兩個運算而且必定滿足交換律，
可是魔術方塊只有一個置換之間的合成運算，
而且明顯不滿足交換律：RU 跟 UR 的結果絕對是不同的。
普遍地，作用在一個物體上的置換群大抵都是不交換的。

不過這不太重要，因為看起來你只是搞混名詞而已。

這於同一種轉法不斷反覆到最後一定會復原，
以最通俗的方式來證明的話，確實只要利用狀態有限這個事實就可以說明。
令考慮的轉法為 A，因為狀態有限，一定遲早會遇到一個之前曾經出現過的狀態，
不妨假設為 A^n 和 A^m，n>m。那麼 A^(n-m) 就必定是不動置換。

不過進一步證明的話，還可以證明復原所需要的次數一定是總狀態的因數。
這是 Lagrange 群定理的一個古典推論。

最後，你提到是否有可能有單一一種轉法能夠生成所有的狀態，
這對有限群一般而言都不存在，包括這邊的魔術方塊在內。
具有這種性質的群稱為循環群（cyclic group），而且極易證明循環群全都是交換群，
因此立刻就知道魔術方塊群不可能是循環群。

至於你提到的與群的狀態數互質的那個概念，
那是在已經假定是循環群的前提下才會成立。

所以：無敵公式是不存在的，別找了……

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