天平秤假球 - 拼圖

我來說說看我的推法 請各位指教

1.假設可以秤兩次 沒有外援正常球
此時可以秤三球 三球編號分別為1.2.3

第一次1----2秤
第二次2----3秤 如此可完全判定哪一個球異常及其較重還較輕


假設可以秤兩次 有一個外援正常球編號a
此時可以秤四球 四球編號分別為1.2.3.4

第一次1.2----3.a秤

第一次結果平
第二次拿4----a秤

第一次結果不平
第二次1.4----2.a秤 如此可判定哪一球為異常及其較重還較輕

2.假設可以秤三次 沒有外援正常球 此時可以秤12個球

球編號1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12


第一次拿1.2.3.4----5.6.7.8秤

第一次結果平 表示9.10.11.12有異常球
但不知其較重較輕 且此時有外援正常球(1.2.3......8)
所以此時套用上面可秤兩次又有外援球的情況可解決

第一次結果不平

第二次拿1.9.10.11----5.2.3.4

其結果有三 1.天平變平 2.天平保持原狀 3.天平換邊
由這三個結果可得
是1.5有問題 還是2.3.4有問題 還是6.7.8有問題
還有一次機會 你可以完全得知哪個球異常及其較輕或較重

我把它畫個分區圖


X-1區 I X-2區 Z區
1 I 5 9.10.11.12
______I______
2 I 6
3 I 7
4 I 8
I
Y-1區 I Y-2區
I

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假設可以秤三次 有外援正常球編號a 此時可以秤13個球
13個球編號1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13

第一次
I
1 I 6
2 I a
______I______ 10.11.12.13
3 I 7
4 I 8
5 I 9
I
I
I
10.11.12.13異常的情況就不理他了 因為可以解決

第二次
I
1 I 6
2 I a
______I______
10 I 3
11 I 4
12 I 5
I
I


天平變平或是換邊 就分別是3.4.5 以及7.8.9分別有異常 此時可解決

天平不變此時就是 1.2.6有異常

此時

I
1 I 2
3 I a
______I______
I
I
I
I
I (3為正常球)

此時換邊2有問題 且其輕重可以判斷
變平6 且其輕重可以判斷
不變1 且其輕重可以判斷

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綜合以上所述

我們可以知道如果今天可以秤四次



I
X-1 I X-2
I
______I______
I Z區
I
Y-1 I Y-2
I
I
那麼X.Y.Z區各該放多少球個

Z區為可再秤三次 且其中有一假球 且此時有一外援正常球的情形
故Z區 可放13個球

Y-1區=Y-2區 為可再秤兩次 其中有一假球 且已知該假球為較重或是較輕
故Y-1區=Y-2區=9個

X-1區=X-2區 為可再秤兩次 且兩區裡面有一個假球 且已先有哪邊比較重的資訊
即為總共可秤三次之X區和Y區之情形
故X-1=X-2=1+3=4

故總共可秤四次,最多可以分辨的球數量為
X-1+X-2+Y-1+Y-2+Z=4+4+9+9+13=39

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那麼可以秤五次的情形呢

Z區為可再秤四次 且其中有一個假球 此時有外援正常球
Z區為39(無外援可秤四次情況)+1=40

Y-1區=Y-2區=3^3=27

X-1區=X-2區 為可再秤三次 且兩區裡面有一假球 且已先有哪邊比較重的資訊
即為總共可秤四次之X區和Y區之情形

故X-1=X-2=4+9=13

故總共可秤五次,最多可以分辨的球數量為
13+13+27+27+40=120

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不知道有沒有思考不周延的地方 還請大家指正

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