只有比爾德知道 - 拼圖

※ 引述《stimim (qqaa)》之銘言：
: 仰望深邃而迷人的晴夜的星空，誰都會想到一個問題：天上的星星究竟有多少顆
: 呢？
: 這，連眾神之王宙斯也說不清楚。當初混沌初開，為了給寂寞空蕩的大地和浩茫
: 無際的海洋帶來溫暖和光明，他曾經命令建築之神比爾德建造一個巨大的火球－－這
: 就是後來稱之為太陽的那個球，由阿波羅駕馭，在虛無飄渺的蒼穹運行著，每圍繞大
: 地走過一圈，就成為人類世界的一天。而這個東出西沒的火球每天降落到大地的背面
: 時，整個世界就會陷入一片漆黑，人們感到陰森、恐怖，彷彿不幸和災難隨時都會降
: 臨到自己的頭上，到處都是憂愁和嘆息。
: 這天，宙斯召來比爾德，說到：
: 「在天空鑲嵌一些閃爍的珍珠，給黑夜送去點點光亮吧！」
: 比爾德不愧是一尊傑出的神，智慧、勤勞，富有進取心。他從來沒有閒著的時候。
: 你看那巍峨壯觀、金碧輝煌的天上宮闕，莫不寄託著他瑰麗的構思和精湛的手藝。他
: 只用一天功夫，就製成兩顆明晃晃的星兒，懸掛在天庭中央。卻不料宙斯見到了只管
: 搖搖頭：「難道你沒有看見世界有多大？老比爾德，這未免太少了，而且他們的光輝
: 也不足普照大地啊！」
: 於是，第二天比爾德製造了四顆大一些的，獻給宙斯，並說到：「那麼，就用這
: 四顆吧，昨天那兩顆就不要了。」
: 宙斯眉頭一皺，一言不發。
: 第三天，比爾德只好把那四顆丟棄了，並且再製出八顆。
: 宙斯仍然不滿意。
: 就這樣，日復一日，每天製成的星星數是前一天的兩倍，而前一天已製成的則不
: 要。製造星星的活估計延續了一個多月，看看將這些璀璨奪目的、珠玉般的星星點綴
: 廣闊無垠的星空，已經有足夠的亮度可供天地照明，宙斯終於眉開顏笑，點頭贊許了。
: 「親愛的比爾德，你勤懇務實，勞苦功高，成績卓著，真堪為眾神的楷模啊！」
: 宙斯滿心歡喜的誇獎著，接著說：「我將挑選一顆最亮的星星，命名為『建築之光』，
: 或者按照他出現盈虧的循環時間，叫作『月亮』吧！」
: 這時，懸掛在中天的一輪有如晶瑩剔透的玉盤似的大星球－－月亮緩緩的在眾神
: 面前游動而過；頓時，天界想起一片震動天地喝彩聲。
: 然後，宙斯長嘯一聲，揚起巨臂，伸開雙掌，只見一串閃著寶石彩色的珍珠，像
: 飛瀑濺玉一樣，從天上紛紛落到手中。他親手將這些珍珠鑲在比爾德的花冠上，說到：
: 「這是幾十顆星星。他們的數目等於你製造星星所花的天數。帶著他們，作為永恆紀
: 念吧！」
: 最後宙斯任命了司星之神，宣佈：
: 「將蒼穹分為金、木、水、火、土五個方位，加上前天庭、後天庭，共七個部份。
: 我想，所有星星數是可以分成七等份的。那麼，就把他們分成相等的七份，分別安置
: 在各部份，萬古長明，永照人寰吧！」
: 千萬年過去了。今天，當我們仰望夜空，不禁要問：「在浩瀚無際的渺渺宇宙中，
: 至少有多少顆星星呢？」也許還會有人問到：「那麼，最多有多少顆呢？」
: 宙斯是說不清這兩個數的；看來，可能只有比爾德知道？
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: 取自：《神話數學集錦》 凡異出版社
令 n 為天數

所以 2^n-1-n 能被 7 整除

而題目說 n 約略是 30≦n≦60 (「製造星星的活估計延續了一個多月」)

以下列出 2^n 和 n 除以 7 的餘數表:

(使用事實: 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7))

n 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
n mod 7 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3
2^n mod 7 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1
(2^n-n) mod 7 6 6 0 3 3 4 0 0 1 4 4 5 1 1 2 5

n 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
n mod 7 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4
2^n mod 7 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1
(2^n-n) mod 7 5 6 2 2 3 6 6 0 3 3 4 0 0 1 4

由此可得 範圍內的所有答案是: n=38, 42, 43, 59

於是最少的個數是 2^38-39 = 274,877,906,905

最多的個數是 2^59-60 = 576,460,752,303,423,428

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順帶一提, n<30 的最大解是 n=22, n>60 的最小解是 n=63

或者由上表可以發現, 若 n 是解, 則 n+21 也是解

也就是所有天數的解就是 21k, 21k+1, 21k+17 其中 k 是非負整數

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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話

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