八皇后問題＆Frustr8tor的介紹 - 西洋棋

品名：Eight queens puzzle、8 queens problem(1848)
中文：八皇后問題
類型：數理類
圖片：http://en.wikipedia.org/wiki/8_queens（英文維基）
玩法：把八個皇后放在西洋棋盤上，並讓八個皇后不會攻擊彼此
作者：拜澤爾（Max Bezzel、Max Friedrich Wilhelm Bezzel）(德國)
http://en.wikipedia.org/wiki/Max_Bezzel（維基上的介紹）
http://www.schachclub-ansbach.de/chronik_bezzel.htm（德文傳記）

進展：1848年9月由西洋棋棋士拜澤爾在《柏林棋報》上提出
隨後高斯等許多數學家，開始研究八皇后問題並拓展至任意的n階

1850年首次由德國數學家弗蘭克諾克（Franz Nauck）提出解答

1874年S. Gunther提出用行列式來解題，但並不實用
J.W.L. Glaisher改良他的做法

線上試玩：
http://www.frustr8tor.nl/home.html (java)
http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/javascript/frustr8torj.htm (java)

推薦度：★★★★☆ 難易度：■■□□□

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品名：Frustr8tor(2006年9月21日問世)
中文：無
專利：WO 2006/098614
類型：數理類
圖片：http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/images/frustr8tor.jpg
玩法：把黃點放在適當的位置，使任意兩個黃點或紅點，不會出現在同一條直線、橫線、或
45度的斜線上
作者：Albert Eckhardt
個網：無
製造廠商：Frustr8tor
廠商網址：http://www.frustr8tor.nl/
廠商聯繫：+31(0)6 52690693、[email protected]
線上試玩：
http://www.frustr8tor.nl/home.html (java)
http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/javascript/frustr8torj.htm (java)

尺寸：未詳
價格：4.99歐元（約台幣215元，2009）
推薦度：★★★★☆ 難易度：■■□□□


在西洋棋中，最具有威力的是「皇后」這枚棋子。它能夠做前後左右、以及斜45度的方向
移動攻擊且不限格數。如何在8╳8的棋盤上擺進8枚皇后，而皇后彼此之間不互相攻擊，
就是有名的「八皇后問題」。

這個問題首先是1848年9月由西洋棋棋士拜澤爾（Max Bezzel）在《柏林棋報》上提出，隨
後便馬上引起許多數學家（例如高斯）的興趣。若把旋轉、鏡射的答案看成是同一種解，
那麼答案一共只有12種。其中唯一對稱的解答如下：

　ＡＢＣＤＥＦＧＨ
８‧‧‧◎‧‧‧‧８
７‧‧‧‧‧◎‧‧７
６‧‧‧‧‧‧‧◎６
５‧◎‧‧‧‧‧‧５
４‧‧‧‧‧‧◎‧４
３◎‧‧‧‧‧‧‧３
２‧‧◎‧‧‧‧‧２
１‧‧‧‧◎‧‧‧１
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ

您能再找出其他幾種解嗎？

如果想要讓難度提高，請試著不要在棋盤的對角線上落子。

　ＡＢＣＤＥＦＧＨ
８╳‧‧‧‧‧‧╳８
７‧╳‧‧‧‧╳‧７
６‧‧╳‧‧╳‧‧６
５‧‧‧╳╳‧‧‧５
４‧‧‧╳╳‧‧‧４
３‧‧╳‧‧╳‧‧３
２‧╳‧‧‧‧╳‧２
１╳‧‧‧‧‧‧╳１
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ

▲如果不在對角線上放置皇后，困難度加倍！

如果覺得八皇后的問題太難了，可以把棋盤縮小：

　ＡＢＣＤ
４‧‧‧‧４
３‧‧‧‧３
２‧‧‧‧２
１‧‧‧‧１
　ＡＢＣＤ

▲請放入４枚皇后，且不互相攻擊。答案只有１種。

　ＡＢＣＤＥ
５‧‧‧‧‧５
４‧‧‧‧‧４
３‧‧‧‧‧３
２‧‧‧‧‧２
１‧‧‧‧‧１
　ＡＢＣＤＥ

▲請放入５枚皇后，且不互相攻擊。答案只有２種。

　ＡＢＣＤＥＦ
６‧‧‧‧‧‧６
５‧‧‧‧‧‧５
４‧‧‧‧‧‧４
３‧‧‧‧‧‧３
２‧‧‧‧‧‧２
１‧‧‧‧‧‧１
　ＡＢＣＤＥＦ

▲請放入６枚皇后，且不互相攻擊。答案只有１種。

　ＡＢＣＤＥＦＧ
７‧‧‧‧‧‧‧７
６‧‧‧‧‧‧‧６
５‧‧‧‧‧‧‧５
４‧‧‧‧‧‧‧４
３‧‧‧‧‧‧‧３
２‧‧‧‧‧‧‧２
１‧‧‧‧‧‧‧１
　ＡＢＣＤＥＦＧ

▲請放入７枚皇后，且不互相攻擊。答案只有６種。

如果您手邊沒有棋盤及棋子，建議可用紙、硬幣或紙、筆、橡皮擦來代替，這絕對是個老
少咸宜的好遊戲！

自從八皇后問題一推出之後，馬上引起許多專業或業餘的數學專家進行研究，目前已經有
許多論文出現。同時，也有其他相關問題紛紛出籠，以下是其中幾則：

◆八皇后解的疊合問題

在八皇后問題的解全部找出之前，曾有人臆測是否能找出其中八個解疊合在一起，使得沒
有任何兩個皇后重疊在一起。換句話說，就是設法將八個解分別畫在八張透明板上，將板
子整齊疊合之後，64個皇后剛好排滿整個棋盤。

後來經過研究，發現棋盤的邊若是2或者3的倍數，則此題無解。因此5×5、7×7、11×11
…是有解的，8×8則無解。8×8最多只能疊合6個解而不致發生衝突。

◆「沒有三個皇后連成一直線」的解答

這裡講的「直線」當然不是指橫線、縱線、或是斜45角的斜線，而純粹是指幾何座標上的
直線。8×8的解中絕大部分都至少有3個皇后在同一條直線上，有的甚至有四個皇后連成一
線。然而其中只有一個解特別與眾不同，它並沒有三個皇后連成一條直線的現象。

三點成一直線的例子：如以下的解中，Ｄ８、Ｆ７、Ｈ６三點在同一條直線上；Ａ３、Ｃ
２、Ｅ１三點也是同樣的情形。

　ＡＢＣＤＥＦＧＨ
８‧‧‧◎‧‧‧‧８
７‧‧‧‧‧◎‧‧７
６‧‧‧‧‧‧‧◎６
５‧◎‧‧‧‧‧‧５
４‧‧‧‧‧‧◎‧４
３◎‧‧‧‧‧‧‧３
２‧‧◎‧‧‧‧‧２
１‧‧‧‧◎‧‧‧１
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ

您能找出沒有三點一直線的解嗎？

◆控制整個棋盤需要幾個皇后？

如果不在乎皇后是否彼此攻擊，那麼要控制整個棋盤最少需要幾個皇后？如果更進一步要
求皇后彼此不能互相攻擊，那麼答案又是如何？很神奇的，這兩題的答案都是５個！

前者的解共有６３８種；後者的解共有幾十種（書上未載明）。

◆如何使八皇后的控制範圍最小？

皇后之間允許互相攻擊，要如何擺放才能讓控制範圍最小？或者換個角度說，最多能有幾
個格子可以避開皇后的威脅？

這個問題最早在一八九六年波爾的《數學遊戲及小品》裡提出，最後終於在史瓦茲柯普夫
於一九八二年在德國雜誌《燕子》上發表時得了到確切的解答（之前都只是臆測）。

答案是11個格子，而且一共有7種。

◆最小控制範圍的變形問題

這個問題首次披露在一九七二年五月號的《科學美國人》（Scientific American）專欄，
提出者是知名的葛登能（Martin Gardner）。

您能否把5個白后以及3個黑后放在5×5的棋盤上，使不同顏色的皇后彼此無法廝殺（也就
是不讓黑白兩軍開打的意思）？

此題的答案只有一種。

眼尖的人可以發現，這個問題其實就是上一個問題的變形。
另外在更早以前，杜得尼（1857-1930）於《數學娛樂》中，也提出類似的相關問題：

　ＡＢＣＤＥＦＧＨ
８‧‧‧‧‧‧‧‧８
７‧‧‧‧‧‧‧‧７
６‧‧‧‧‧‧‧‧６
５‧‧‧‧‧‧‧‧５
４‧‧‧‧‧‧‧‧４
３‧‧‧‧‧‧‧●３
２‧‧‧‧‧‧‧●２
１‧‧●●●●●●１
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ

八個皇后擺放如上圖，請問要如何移動三個皇后，使得有11個空格攻擊不到？

◆4個皇后在8×8的棋盤上

4個皇后在8×8的棋盤上，要如何部署才能讓它們攻擊的範圍最大？

試試看，以上的問題您能解出幾個呢？

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2006年9月，Albert Eckhardt將八皇后問題做成實體益智玩具出售：

http://www.frustr8tor.nl/

它的構造很簡單，首先將整個棋盤翻過來，再牽動若干紅色條柱至相同的數字上來設定題
目，並不可再移動。棋盤翻回正面後，玩家的任務就是移動黃色條柱，使黃點與紅點能滿
足八皇后問題的要求，讓任意兩點均不在同一條直線、橫線或45度的斜線上。

背面的數字如下：

11 2 12 27 26 3 5 8
27 22 10 14 25 4 24 6
17 4 25 19 9 23 21 1
3 20 18 17 4 28 9 5
1 7 15 13 20 16 6 3
23 6 19 5 24 15 8 18
12 21 2 8 11 7 10 28
22 1 13 7 2 14 16 26

■ 2個：9～28
■ 3個：1～8
（共有28道題目）

品名frustr8tor是取frustrate+or的諧音。frustrate意指「挫敗」，表示玩此遊戲一不小
心，信心就會遭受打擊哦！

真的有那麼難嗎？快點一起在「太后」頭上動土吧！

以下的網址提供試玩：
http://www.frustr8tor.nl/home.html (java)
http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/javascript/frustr8torj.htm (java)



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