你會付多少錢 - 推理遊戲

※ 引述《EIORU ()》之銘言：
: 有一個拿獎金的比賽
: 先丟一個銅板
: 在擲出反面前 若連續丟到x次的正面
: 就可以獲得"2的x次方"元的獎金
: 例如
: 丟的狀況 獎金
: 反 1
: 正反 2
: 正正反 4
: 正正正反 8
: ... ...
: 那麼 你願意付出多少錢當報名費來玩這個遊戲呢?
: (也請從主持人的方面想 在主持人能賺到最少的情況下)

這個問題從機率上來看是非常簡單的期望值算法

每一種獎金發生的機會乘上每一種獎金金額 加總之後

會是無限大

意思 不是玩了很多次以後會有一次可以得到無限大的獎金

或是那麼多次獎金總和是無限大

而是[每玩一次]的獎金平均起來都是無限大的獎金

這題令人吊詭的地方就是從數學上可知獎金期望值的確是無限大

但是當大家想像真的拿出錢去玩時 總覺得 什麼平均獎金是無限大

連要有一次獎金是無限大都很難 要很多的資本去玩

也才能獲得[一次]很多的獎金

我們從小數目來測試

1.若玩一次要付1元

則只需玩一次就不會虧本(獎金不少於1 但要到無限大很難 )

2.若玩一次要付2元

平均 2次 才會出現1次獎金2元(該次不虧本)

但玩2次 總付出4元 很容易可以得到3元的獎金(一次正一次反) 總和還是虧
(講很容易而不是講期望 因為期望值是2倍的無限多元)

大家可以簡單測試 玩4次時 很容易可以得到8元的獎金(1+1+2+4) 不虧本

若玩8次 很容易可以得到20元的獎金(1+1+1+1+2+2+4+8) 小賺4元


3.若玩一次要付1000元 要玩幾次以上才會[容易]回本?

最簡單想法 玩個1000次 才會有1次 該次獎金回本(1024元)

但玩1000次 共付了1000000元 (2的20方)

很容易得到下列的總獎金

512次1元 + 128次2元 +....+2次128元 +1次512元 +1次(512或1024)元

= 10*512 (算倒楣最後兩次都512)

付出1000*1000

玩2048次 : 易得 11*1024元 付 1000*2048

玩4096次 : 易得 12*2048元 付 1000*4096

玩2的1000方次: 易得 1000*(2的999方)元 付 1000*(2的1000方)

玩2的2000方次: 易得 2000*(2的1999方)元 付 1000*(2的2000方)
約(2的2010方)元 約(2的2010方)元

打平

可看到 每次付費(2的10方)元時 約要玩 2的[(2的11方)]次

即很容易打平不虧本 再玩更多次 則賺更多

重點是 我們可看到上述算法[易得]的金額 表示成 A*B的型式OB

隨著玩的次數的上升 AB都上升

而付費金額不過是 1000*A的型式 只有一方上升

當玩到 2的(2的(2的(2的(2的(2的(2的10次方)))))))次時

就會開始感覺到 不是只有一次獎金會很大

會平均起來獎金都很大的感覺了

就像極限求法中 A*B / C A B C都趨近超級霹靂大

A*B是易得的獎金 C是次數

= (1個超級霹靂大 乘上 1個超級霹靂大) 除以 1個超級霹靂大

還是 = 1個超級霹靂大 (平均每次玩容易得到的獎金)


以上 是我用 容易 代替 期望 用 很大 代替 無限大

思考之後 覺得這個本來很吊詭不合常理 感覺不太對的數學事實

好像變得還滿親近易人 也沒那麼不合常理 的感覺

的方法

不知上述有哪些疏失 還請各位老大指教指教




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