世上的兩種可能 - 推理遊戲

題目如果限制只能用1~9各一次的話那就的確是"唯一"解
不然就如allen大說的愛怎麼湊都可以

在講解之前我想先說一句話：
國中還是高中數學絕對有教些簡單的數論(倍數規則)！
如果不是還沒學到的話 那肯定是太久沒用忘光了嘛(無奈攤手)
※ 引述《allen65535 (劇情急轉直下)》之銘言：
: ※ 引述《how200284 (先不要問我，我還沒想到)》之銘言：
: : 有一個九位的數字
: : 第一個數字為1的倍數
: : 前兩個數字為2的倍數
: : 前三個數字為3的倍數
: : 前四個數字為4的倍數
: : 以此類推...
: : 世上答案有兩種
: : (如有OP請通知，我自D)
: : ============================防雷頁============================
: : Ans:147258369 & 381654729
: : 真正我要問的是:
: : 為什麼只有兩種
: : 有證明嗎?
: : 還是純巧合?
: : (本人初PO，各位大大請不要噓太用力)
: : 謝謝
: 我推出來只有一解耶...過程有點冗長也許不是最佳解
: 首先我想這題目應該加上一個條件是1到9的每個數字都只能用一次
: 要不然像222456564這種答案也是符合條件的
: 再來，既然1到9每個數字只能用一次
: 那在第2、第4、第6、第8位除以偶數的時候，個位數一定要是偶數
: 因為個位數如果是奇數，除以偶數一定不能整除
: 也就是說2、4、6、8一定要放在2、4、6、8位
: 那麼1、3、5、7、9就只能放在1、3、5、7、9位了
: 然後注意5這個數字有特殊性
: 從4位數要拓展到5位數的時候，會是這樣(oooo x 10 + n)
: oooo是前4位數，n是第5位數
: 其中(oooo x 10)一定是5的倍數，也就是說n本身也要是5的倍數
: 1到9的數字中5的倍數就只有5了，所以5一定要放在第5位
5的倍數規則：尾數必是5或0
既然是1~9那當然只能是5了
可以先將5放中間：xxxx5xxxx
: 利用類似的算式，我還發現其他兩個規則
: 一個是第4位和第6位加起來一定要等於10
: 另一個是第7位和第8位這兩位本身要是8的倍數
: 我總覺得9應該只能放在第9位不過我推不出來，所以算了 XD
9的倍數規則：所有位的數字加起來是9的倍數
1加到9=45已經是9的倍數，所以最後一位是什麼數字都沒有關係
: 先解釋第4位和第6位加起來為什麼一定要等於10
: 先假設第4位是2n，第6位是2m
: 因為之前知道第4位和第6位一定是偶數所以可以這樣假設
: 所以前6位是這樣 10 x (10 x (10 x ooo + 2n) + 5) + 2m
: 化簡一下 1000 x ooo + 200n + 50 + 2m
: 現在檢查這一串東西要是6的倍數，把6的倍數先減掉
: 因為ooo是3的倍數，所以1000 x ooo可以寫成500 x 2ooo
: 2ooo一定是6的倍數，所以這一項可以不用管
: 200n中的198n也一定是6的倍數，所以200n剩下2n
: 同理50剩下2，2m還是2m
: 現在這一串就剩下 2n + 2 + 2m，化簡 2(n+m+1)
: 2(n+m+1)要是6的倍數，所以n+m+1要是3的倍數
: 這裡只有兩種可能，n和m等於2和3或1和4
: 所以第4位和第6位的2n和2m只能等於4和6或2和8
這邊的想法不錯 是正確的
不過其實可以這樣想：3的倍數規則：所有位數字和是3的倍數
前三位已經是3的倍數了所以乘上1000就是6的倍數不管他
後三位中間是5，而且剩下兩位必須是"不同"的偶數(所以和不會是4和16)
所以這兩位一定得是4&6或2&8的組合
: 再來解釋第7位和第8位這兩位本身要是8的倍數
: 到第8位為止可以這樣寫 10 x (10 x oooooo + n) +m
: 這裡是假設第7位是n，第8位是m
: 化簡 100 oooooo + 10n + m
: 因為oooooo是6的倍數，所以100 oooooo一定是8的倍數
: 也就得到結論10n + m本身要是8的倍數
: 又已知第7位是奇數，第8位是偶數，所以組合只有以下這幾種可能
: 16、32、56、72、96
: 56不行因為5一定要放在第5位，所以剩下其他四種
: 16、32、72、96
複習一下8的倍數規則：末三位是8的倍數(因為1000能被8整除)
因為前六位是6倍數關係所以這8的倍數的百位是偶數
200也可以被8整除，所以重點在第七第八位組成的數字是8的倍數
十位為奇數個位為偶數，暴力搜一下五種組合應該不會嫌麻煩
但注意5的位置已經固定了所以其實可用的組合是16 32 72 96而已
: 值得注意的是，不是要有2就是要有6
: 現在回過頭來檢查前3位，其實也只是把所有可能列出來
: 這裡的第1位和第3位是還可以調換的
: 123、723、129、147、165、765、183、783
: 有5的不行所以剩下
: 123、723、129、147、183、783
到這邊其實好像不用那麼麻煩
因為第四位跟第六位的組合只能是4&6或2&8，而第八位不是2就是6
所以第二位不是8就是4了(有玩數讀的話應該看得懂為什麼吧)
所以前三位的組合其實很有限：奇偶奇，不能有5，偶數不是8就是4
組合不外乎147 183 189 387 789(第一位跟第三位一樣可以互換)

因為第四位跟第六位的組合是4&6或2&8的關係
這時回頭配合看第七八位和第二位的組合：
147配16....-><-
183和387不能配32
387和789也不能配72

所以目前可得10組解
183654729 381654729
147258963 741258963
189654327 981654327
189654723 981654723
789654321 987654321
(這邊要說明一下為什麼46或28不能互換，複習4的倍數規則：)
(末兩位為4的倍數，因為100可以被4整除)
(所以不管第三位是多少，第四位只能是2或6)
: 然後對照剛才推出來第7第8位的四種可能性
: 如果前3位是123，78位只能是96
: 但是46位又只能是46或28
: 所以前3位是123這組就不成立了
: 終於走到最後一步，就是一個一個淘汰了
: 最後剩下兩組可能
: 123位是147，456位是258，78位是96，以及
: 123位是183，456位是456，78位是72
: 這裡的13位和46位還是可以交換的
: 逐一檢查就得到最後的答案只有381654729符合所有條件
: 結束 XD
最後來複習一下7的倍數規則吧，比較複雜：
從個位數起每三個位數用一條線連成一個三位數，再分兩組加總算其差
如果差是7的倍數則整個就是7的倍數(因為1001是7的倍數，同理用在13倍數上有用)

有點難懂? 來練習一下吧
假設到七位數為止是1836547，則分為1 836 547，其中1和547一組
836-(1+547)=288 不是7的倍數，因此這組不合

381654729的場合：分3 816 547，816-(3+547)=266是7的倍數！

剩下的我就不算了，都不是7的倍數

所以只有381654729是唯一解 ^^

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題外話：1001=7X11X13，可是11有比較簡單的判斷法
那就是直接以奇偶數位分組算其差
(這樣想，每相鄰兩組都會一起加1，當後面那組進位時，後面少9前面加1+進位1)
(所以兩組間的差距永遠是11的倍數。同理解釋1001的倍數想法)

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