世上的兩種可能 - 推理遊戲

※ 引述《how200284 (先不要問我，我還沒想到)》之銘言：
: 有一個九位的數字
: 第一個數字為1的倍數
: 前兩個數字為2的倍數
: 前三個數字為3的倍數
: 前四個數字為4的倍數
: 以此類推...
: 世上答案有兩種
: (如有OP請通知，我自D)
: ============================防雷頁============================
: Ans:147258369 & 381654729
: 真正我要問的是:
: 為什麼只有兩種
: 有證明嗎?
: 還是純巧合?
: (本人初PO，各位大大請不要噓太用力)
: 謝謝
我推出來只有一解耶...過程有點冗長也許不是最佳解

首先我想這題目應該加上一個條件是1到9的每個數字都只能用一次
要不然像222456564這種答案也是符合條件的

再來，既然1到9每個數字只能用一次
那在第2、第4、第6、第8位除以偶數的時候，個位數一定要是偶數
因為個位數如果是奇數，除以偶數一定不能整除
也就是說2、4、6、8一定要放在2、4、6、8位
那麼1、3、5、7、9就只能放在1、3、5、7、9位了

然後注意5這個數字有特殊性
從4位數要拓展到5位數的時候，會是這樣(oooo x 10 + n)
oooo是前4位數，n是第5位數
其中(oooo x 10)一定是5的倍數，也就是說n本身也要是5的倍數
1到9的數字中5的倍數就只有5了，所以5一定要放在第5位

利用類似的算式，我還發現其他兩個規則
一個是第4位和第6位加起來一定要等於10
另一個是第7位和第8位這兩位本身要是8的倍數
我總覺得9應該只能放在第9位不過我推不出來，所以算了 XD

先解釋第4位和第6位加起來為什麼一定要等於10
先假設第4位是2n，第6位是2m
因為之前知道第4位和第6位一定是偶數所以可以這樣假設
所以前6位是這樣 10 x (10 x (10 x ooo + 2n) + 5) + 2m
化簡一下 1000 x ooo + 200n + 50 + 2m
現在檢查這一串東西要是6的倍數，把6的倍數先減掉
因為ooo是3的倍數，所以1000 x ooo可以寫成500 x 2ooo
2ooo一定是6的倍數，所以這一項可以不用管
200n中的198n也一定是6的倍數，所以200n剩下2n
同理50剩下2，2m還是2m
現在這一串就剩下 2n + 2 + 2m，化簡 2(n+m+1)
2(n+m+1)要是6的倍數，所以n+m+1要是3的倍數
這裡只有兩種可能，n和m等於2和3或1和4
所以第4位和第6位的2n和2m只能等於4和6或2和8

再來解釋第7位和第8位這兩位本身要是8的倍數
到第8位為止可以這樣寫 10 x (10 x oooooo + n) +m
這裡是假設第7位是n，第8位是m
化簡 100 oooooo + 10n + m
因為oooooo是6的倍數，所以100 oooooo一定是8的倍數
也就得到結論10n + m本身要是8的倍數
又已知第7位是奇數，第8位是偶數，所以組合只有以下這幾種可能
16、32、56、72、96
56不行因為5一定要放在第5位，所以剩下其他四種
16、32、72、96
值得注意的是，不是要有2就是要有6

現在回過頭來檢查前3位，其實也只是把所有可能列出來
這裡的第1位和第3位是還可以調換的
123、723、129、147、165、765、183、783
有5的不行所以剩下
123、723、129、147、183、783
然後對照剛才推出來第7第8位的四種可能性
如果前3位是123，78位只能是96
但是46位又只能是46或28
所以前3位是123這組就不成立了

終於走到最後一步，就是一個一個淘汰了
最後剩下兩組可能
123位是147，456位是258，78位是96，以及
123位是183，456位是456，78位是72
這裡的13位和46位還是可以交換的
逐一檢查就得到最後的答案只有381654729符合所有條件
結束 XD

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