上流社會的算術教室-分數策略 - 桌遊

規則參考
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本版17980
上流社會的算數教室-期望值法

討論為計算方便，假設：
1.每人持有籌碼為 100單位
2.不受面額限制
3.兩人對戰
4.無提前結束之規則


一、前言

這遊戲關鍵的四張牌
X2 三張， /2 一張
由於用期望值法無法討論一個人取得2張X2以上之效果
特此專題分析

作者因為數學底子不好
只能用高中數學求解
要是有興趣的高手還希望能多提點進階的計算技巧

二、分布情形

兩個人(A,B)玩，有以下五種情形:

A X2,X2,X2
B
-------
A X2,X2
B /2
-------
A X2,X2
B X2
-------
A X2,X2,/2
B
-------
A X2
B X2,/2

然以上五種方法可以歸納成兩類情形

前面兩種可歸納為:
A 分數乘8
B 分數乘1

後面三種可歸納為:
A 分數乘2
B 分數乘1

除了X2和/2外
全部分數卡一共55分
加上兩張扣分卡(-5,掉一張牌) 期望值分別為 -5, -5.5

在兩個人玩的情況下 負分和分同等價值
因此A和B的得分可以下表示
A =X
B =55+5+5.5+X-尚未翻出的牌= 65.5+X-尚未翻出的牌

為討論方便，"尚未翻出的牌" 設為0

三、取勝最低分數

設A勝利應取得之最低分數為X

1)
A 分數乘8
B 分數乘1 的條件下
X*8> (65.5)-X
X=8

A應取得8分
B應取得58分

2)
A 分數乘2
B 分數乘1
X*2> (65.5)-X
X=22

A應取得22分
B應取得44分

四、分數價值的估算

就上述(1)之情形作價格估算
A取得8分且取得3張X2 則必勝
B取得58分則必勝

籌碼/分數=每點分數價值的籌碼
B的情況:100/58=1.7
每點分數價值1.7單位籌碼
換算成A:100=1.7*8+3Y
每張X2價值:28.6單位籌碼

就上述(2)之情形作價格估算
A取得22分且取得2張X2 則必勝
B取得44分且取得1張X2 必勝
一張X2價值22分
籌碼/分數=100/66
每點分數價值1.5單位籌碼
每張X2價值:33單位籌碼


五、兩種策略的比較

究竟是
(1)策略: 取得三張X2和8分 or 取得58分
(2)策略: 取得兩張X2和22分 or 取得一張X2和44分
哪一種方法比較優秀呢?

假設雙方的決策模式為:
1.彼此了解對方的期望價格
2.一旦標價超過了期望價格，就不再出價

為討論方便，作者再次簡化卡片的出現順序為兩種
a.X2在前三張出現
b.X2在最後三張出現

在a.條件下
採取策略(2)會先以33單位籌碼標下前兩張X2
對於第3張X2，至少要留12籌碼[1.5*8]標分數牌
最多只能出22(34-12)標下最後一張X2
由策略(1)以23籌碼標下

剩下之分數籌碼，由於:
策略(1):每點分數價值1.7單位籌碼
策略(2):每點分數價值1.5單位籌碼
且預算上策略(1)較為充足，策略(1)獲勝

在b.條件下
策略(1)會先吃下58分，取得勝利

小結:策略(1)之出價模式較策略(2)優


六、總結

經過簡化再簡化的分析
得到了一個理論上的出價策略
然而這些策略尚未經過以下條件之修正:
1.提前結束遊戲
2.出價面額限制
3.負分卡的效果
4.三人以上遊戲的調整(持有現金最低者落敗)

特別是條件4的修正，
對於遊戲策略的影響有決定性的差距

不過遊戲可操作要素就只有出價金額
只要用樹狀圖分析，總是可以找到一個解法

以上

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