三個機率問題 (我的想法) - 拼圖

Q1. 四張相同卡片, 其中一張兩面紅色, 一張兩面黑色, 兩張一面紅一面黑
正反面都一樣, 放在箱裡, 沒人看得到.
莊家隨意抽取一張並擺在桌上，這時賭客跟莊家看到的是紅色
它的背面可能是紅色，也可能是黑色
莊家要賭客賭它"兩面是否同色"， 請問賭"相同"的勝率是多少?

Ans:
首先先將卡片編個號
A: 2紅
B: 1紅1黑
C: 1紅1黑
D: 2黑

先不管題目, 我們隨機抽出卡片200次, 取後放回. 在最好狀況下會是這樣:
A: 50次
B: 50次
C: 50次
D: 50次

現在開始考慮題目
當牌擺在桌上, 看到紅色的時候
********************************************
* A的50次一定會出現 *
* B的50次則有1/2的機率出現(有可能是黑朝上) *
* C的50次跟B一樣. *
* D的50次不可能出現, 所以是0次 *
********************************************
所有的次數為 50+25+25 = 100
->
相同的機率是 (50+0)/100 = 1/2
不相同的機率是 2*(25)/100 = 1/2

<<討論Q1>>
這個地方有趣的是, 如果不管莊家擺出的是什麼顏色,
直接猜抽出的是"同色卡"的機率也是1/2.
那麼莊家讓賭客看到顏色不就沒意義了嗎?

但是其實這兩個1/2所代表的意義是不一樣的!
* 不管顏色直接猜, 是表示要猜"A跟D在A+B+C+D中的機率"
(50+50)/(50+50+50+50) = 1/2
* 考慮顏色之後來猜, 是表示要猜"紅色那面的另一面也是紅色的機率"
如上所解, (50+0)/100 = 1/2
或是換個想法, 擺出的紅色有可能是A的其中一面朝上, 設為A1與A2.
也有可能是B的紅色朝上, 設為B1.也可能是C的紅朝上, 設為C1.
同色卡的機率為 (A1+A2)/(A1+A2+B1+C1)
又A1 = A2 = B1 = C1 所以答案為 2/4 = 1/2

ps:這兩者會都是1/2只是剛好而已, 等到Q3還會有相關的討論.


Q2:某一家庭有兩個小孩, 若已知兩個小孩至少有一個男孩, 求兩個均為男孩的機率?

來跟Q1對應一下 [紅色 = 男孩 | 黑色 = 女孩]
而"已知兩個小孩至少有一個男孩, 要猜兩個都是男孩",
也就是"已知兩個小孩至少有一個男孩, 要猜兩個小孩同性別的機率"
轉換一下, 題目就變成"已知兩面至少一面是紅色, 要猜這張為同色卡的機率"

******************************************
* A的50次全部要算 *
* B的50次全部要算 (只要有一個紅就成立) *
* C的50次跟B一樣. *
* D的50次不可能出現, 所以都不算 *
******************************************
所有的次數為 50+50+50 = 150
->
相同的機率是 50/150 = 1/3 (!!兩個均為男孩的機率)
不相同的機率是 2*50/150 = 2/3

<<討論Q2>>
這題跟Q1不一樣的地方就是在B跟C的處理.
Q2的算法是把Q1改成當抽到B或C時, "強迫將紅色朝上".
所以看到紅色的可能是A的其中一面朝上, 設為A1與A2.
也有可能是B的紅色朝上, 設為B1.也可能是C的紅朝上, 設為C1.
同色卡的機率為 (A1+A2)/(A1+A2+B1+C1)
但是A1+A2 = B1 = C1
所以答案是 1/(1+1+1) = 1/3


Q3: 莊家一次丟兩個相同的銅板然後用手蓋住, 叫賭客猜這兩個銅板是"同面"
還是"異面", 這時有個路人經過說"我看到其中一個是正面", 請問賭客
猜"同面"的勝率是多少?
(我的想法: "路人"就是隨機經過的人)

Ans:
分兩種情況
1.路人只看其中一個銅板
這樣的情況跟Q1莊家自己擺牌給賭客看其中一面是一樣的.
因為路人只看到一面, 賭客只要猜另一面(銅板)是什麼就好.
另一個銅板是正面的機率是1/2
所以"同面"的機率是1/2

2.路人看到兩個銅板
來跟Q1.對應一下 [紅色 = 正面 | 黑色 = 反面]
**********************************
* A的25次全部要算 *
* D的25次不可能出現, 所以都不算 *
**********************************
重點就在於"路人"對於B,C的處理

當路人看到"一正一反"時, 相當於路人拿到一張"雙色卡",
而他說出其中一個的顏色的情況, 就相當於將卡擺在桌上使其中一面朝上.
所以這種情況與Q1的解法一樣.
**************************
* B的50次有1/2的機率出現 *
* C與B相同 *
**************************
所有的次數為 50+25+25 = 100
->
同面的機率是 (50+0)/100 = 1/2
異面的機率是 2*(25)/100 = 1/2


<<討論Q3>>
為什麼情況1跟情況2的答案一樣.
其實就跟解Q1一樣, 在隨機擺牌的情況下, 不用去考慮莊家是否知道另一面是什麼.

這題最重要的地方就是路人在情況2遇到B,C.
當路人看到"一正一反"時, 隨機說出其中一個, "正"與"反"的機會都是1/2.
所以聽到路人說"有一個正"時, B與C的50次並不能全算.
因為路人並不是說"至少一個正面"(Q2).
若是路人遇到B,C的情況, 他會說出"至少一個正面"的機率是100%,
這時B,C的50次才能全算.

有人這題會算1/3, 是因為你強迫路人將"所抽到的B,C一律紅色朝上".
也就是自己假設了路人看到了"一正一反"一定會說出"其中一個是正面".
如果題目改成"賭客問路人有沒有正面, 路人說有", 這樣答案就是1/3.

承接Q1的討論, 路人給了賭客一個正確的提示, 為什麼賭客的勝率卻不變呢?
其實這個跟要賭的東西有關.

舉個例子: 丟兩個骰子, 然後猜兩個骰子是否同點.
猜對的機率是1/6 (總共36種組合, 6種組合是同點)
現在我讓你先看其中一顆是什麼, 然後再猜是否同點, 勝率是多少?
還是1/6, 但是這個1/6是要猜另一顆是1.2.3.4.5.6的哪一個.

或者換個玩法,
1.我先丟一顆, 不讓你看, 你先猜是否同點後, 我再丟第二顆.
2.我先丟一顆, 讓你看點數, 你猜是否同點後, 我再丟第二顆.
這兩種的機率都是1/6, 但是意義卻不同.

最後舉個會改變勝率的例子, 一樣是兩骰子, 猜點數合(2-12).
每個點數合出現的機率不同, 像是猜2的勝率是1/36.
但是當我跟你說其中一個是"1點"時, 猜2的勝率就變成1/6.


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