一個機率問題 - 推理遊戲

說在前面： 我算出來跟你一樣

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這應該算典型的DP題吧

step1:定義

a 表示某人有a張非鬼牌
+1 表示某人有1張鬼牌
+2 表示某人有2張鬼牌

step2:函式

函數 (兩人持牌狀態)
f(a) a+1:a+1 時，先抽者贏的機率
g(a) a+2:a 時，輪a抽，且a贏的機率
h(a) a+2:a 時，輪a+2抽，且a+2贏的機率

step3:列關係式

g(a)= (1-f(a))*2/(a+2) + (1-h(a-1))*a/(a+2)
f(a)= (1-f(a-1))*a/(a+1) + (1-g(a))*1/(a+1)
h(a)= 1-g(a-1)

step4:化簡

簡單化簡後得 f(a) = 1-f(a-1)*(a+2)/(a+3) - g(a-2)/(a+3)

step5:初始 (這邊f(1)要先自己用手算)

a f(a) g(a)
0 0 1
1 0.75 0.5

step6:DP (這題因為關係式很單純，所以我這邊是用excel拉的，不然通常是寫program)

a f(a) g(a)
0 0 1
1 0.75 0.5
2 0.2 0.9
3 0.75 0.4
4 0.228571429 0.857142857
5 0.75 0.357142857
6 0.238095238 0.833333333
7 0.75 0.333333333
8 0.242424242 0.818181818
9 0.75 0.318181818
10 0.244755245 0.807692308
11 0.75 0.307692308
12 0.246153846 0.8
13 0.75 0.3 //excel run time = 0 sec

結論:

非鬼牌張數為偶數時 先手獲勝機率從0.2開始遞增 無限偶數張時 會趨近於0.25
非鬼牌張數為奇數時 先手獲勝機率保持為0.75




※ 引述《tzhou (你看不見我~你看不見我~)》之銘言：
: ※ 引述《fox308 (滿十八了....^^")》之銘言：
: : 假設現在有兩個人
: : 手上分別拿有J Q K A 鬼牌
: : 隨機選一人先抽
: : 抽到相同數字即可湊成一對丟出
: : (鬼牌不行啦^^"
: : 想請問後抽的人贏的機率是多少??
: : 我有自己試著解.....
: : 可是解到一半就亂了......>"<
: : 拜託大大了<(_ _)>
: 先說好我不是大大所以可能會錯= ="
: 由於兩人一樣 所以要嘛抽到鬼牌 要嘛丟掉兩張
: 以下是倒推法(鬼牌O)
: 另外我省掉了無窮等比級數的算法
: 二比二
: XO XO
: 不管先抽的機率
: 後抽的是在XOO中抽所以是1/3會贏 先後比1:1/3所以勝率是3/4:1/4
: 三比三
: XXO XXO
: 先抽的有4/5的情形會進入上面而成為後抽的
: 若不是這樣有1/5後抽的贏
: 所以先抽的有4/5x1/4=1/5會贏
: 剩下的全是後抽的贏
: 不相信可以算4/5x3/4+1/5=4/5
: 所以先後勝率1/5:4/5
: 以下有點複雜
: 不過所有的比我都是先手寫在前面
: 四比四
: XXXO XXXO
: 先抽的有5/6機率進入3v3成為後手
: 所以先記5/6x4/5=2/3和5/6x1/5=1/6給先後的兩個
: 另外1/6的情形是
: XXOO XX 換先手
: 這情形下馬上變成XOO X 換後手
: 所以後手有1/6x1/3的情形馬上勝
: 剩下1/6x2/3的先後比是1/9x(3/4:1/4)=1/12:1/36
: 累計
: 2/3+1/12 : 1/6+1/18+1/36 = 3/4 : 1/4
: 五比五
: XXXXO XXXXO
: 先說一下先手變下一輪後手的算法好了
: 首先有4/5馬上進四比四
: 然後有1/5x2/6的輪迴
: 無窮等比算法4/5x(1-1/5x2/6)=6/7
: 然後
: 這6/7的情形 => 先:後 6/7x1/4 : 6/7x3/4
: 剩1/7是XXXXOO XXXX 換後手時沒抽到鬼牌
: 變成XXXOO XXX 換先手
: 所以必定是XXOO XX 換後手
: 有1/7x1/2是後手贏
: 剩下1/14進入3v3
: 累計：
: 3/14+1/14x1/5 : 9/14+1/14+1/14x4/5
: 所以這題勝率 先抽的人有 8/35
: 後抽的人有 27/35

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上海自來水....^^"

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