一個數學問題 - 拼圖

※ 引述《xx5236294roy (xx5236 blog Rubik's)》之銘言：
: 各位大大幫幫我解題吧!-123456789
: 請問各位大大
: 如何將123456789
: 這9個數字
: 亂換位子
: 但是最後得到的數字要:
: 第1個數字可被1整除
: 第1,2個數字可被2整除
: 第1,2,3個數字可被3整除
: 第1,2,3,4個數字可被4整除
: 第1,2,3,4,5個數字可被5整除
: 第1,2,3,4,5,6個數字可被6整除
: 第1,2,3,4,5,6,7個數字可被7整除
: 第1,2,3,4,5,6,7,8個數字可被8整除
: 第1,2,3,4,5,6,7,8,9個數字可被9整除

希望這不是你的暑假作業……

符合題目要求的數稱之為「累進可除數」（progressively divisible number），是由一
位女士麗婀‧高洛蒂斯基（Lea Gorodisky）所提出並解決的。這種累進可除數最高只達
25位數（當然此時每位的數字是允許重複的）。

此外，若本題不限制每位數字皆不相同的話，答案則有2492個。

本題的答案只有一個。

25位的累進可除數也只有一個，那就是：

3608528850368400786036725

言歸正傳：

我自己是花了差不多一個半小時才解出來的。不過並不算太難。

要解這個問題首先我們必須要有判別因數的基本知識：

1：每一個數字都能被1整除（包括０）
2：尾數只要是偶數就能被2整除
3：各個數字加起來是3的倍數的話就能被3整除
4：最後二位數是4的倍數即可被4整除
5：尾數只要是0或5就能被5整除
6：能同時被2、被3整除就能被6整除
7：較為複雜，暫且不列
8：最後三位數是8的倍數即可被8整除
9：各個數字加起來是9的倍數的話就能被9整除

由上述可知，除了7的倍數外，其餘都很好判別。不過還好也只有這個難關，因此還不算太
棘手。

【１】由題意可知，偶位數的數字一定是偶數；奇位數一定是奇數，且第５位一定是５（
因為禁用０）。

＊＊＊＊５＊＊＊＊
奇偶奇偶奇偶奇偶奇

【２】因為前四位必須被４整除，且第三位是奇數，所以第四位不是２就是６。因為４的
倍數中，滿足這個條件的只有尾數是２或６的時候：

１２　　　　　４４（不合）　７６
１６　　　　　４８（不合）　８０（不合）
２０（不合）　５２　　　　　８４（不合）
２４（不合）　５６　　　　　８８（不合）
２８（不合）　６０（不合）　９２
３２　　　　　６４（不合）　９６
３６　　　　　６８（不合）　
４０（不合）　７２

＊＊＊＊５＊＊＊＊
　偶　偶　偶　偶　（奇數不標，看起來比較清楚）
　　　２
　　　６

８的倍數也一定能被４整除，因此同理可證第八位不是２就是６。

＊＊＊＊５＊＊＊＊
　偶　偶　偶　偶
　　　２　　　２
　　　６　　　６

【３】由於前三位必須被３整除，前六位必須被３整除，所以中間三位也必須能被３整除
。再加上整個數能夠被９整除，因此最後三位也能被３整除（因為９是３的倍數），所以我
們可以把全數拆成三個部分，每一個部分都是３的倍數。

第一段　第二段　第三段
＊＊＊　＊５＊　＊＊＊
　偶　　偶　偶　　偶
　　　　２　　　　２
　　　　６　　　　６

也就是說，每一段的三個數字加起來，都必須是３的倍數。

因此第二段我們可以輕易得知，既然第四位不是２就是６，那麼第六位不是８就是４。而
且只要決定其中一個，就能決定另一個數字。

第一段　第二段　第三段
＊＊＊　＊５＊　＊＊＊
　偶　　偶　偶　　偶
　　　　２→８　　２
　　　　６→４　　６

【４】既然２跟６佔了其中兩位，那麼第二位不是８就是４。

第一段　第二段　第三段
＊＊＊　＊５＊　＊＊＊
　偶　　偶　偶　　偶
　８　　２→８　　２
　４　　６→４　　６

【５】第一段中間如果是４，那麼左右兩數加起來必為５、８、１１、１４（要符合３的
倍數）。但是因為兩個奇數加起來必為偶數且１４的組合只有５與９而５又被用過了，所以
這兩數和的可能性只剩下８，也就是１和７的組合。

第一段　第二段　第三段
＊＊＊　＊５＊　＊＊＊
　偶　　偶　偶　　偶
　８　　２→８　　２
１４７　６→４　　６
７４１

【６】從這裡我們就可以大膽假設第二位是４，並用此數來測試最難的第七位：

１４７２５８３（合）
１４７２５８９（不合）
７４１２５８３（不合）
７４１２５８９（不合）

然而再進擊至第八位時：

１４７２５８３６（不合）

１４７２５８３６９這個數字雖然能夠被９整除，而且數字也非常漂亮（看九宮格數字盤
就知道）只可惜敗在第八位。

不過，我們至少可以確定第二位是８，以及其他偶位上的數字。

第一段　第二段　第三段
＊８＊　６５４　＊２＊
　偶　　偶　偶　　偶
　８　　６→４　　２

【７】由於８的倍數規則關係，因此第七位不是３就是７：

４１２（不合，因不被８整除）
４３２（合，因能夠被８整除）
４７２（合，因能夠被８整除）
４９２（不合，因不被８整除）

第一段　第二段　第三段
＊８＊　６５４　＊２＊
　　　　　　　　３
　　　　　　　　７

【８】再從第一段看起，８兩旁的數字和必須是４、７、１０、１３、１６，去除掉奇數
剩下４、１０、１６，也就是１與３、１與９、３與７、７與９的組合。

至此，我們可以直接做測試，因為要計算的只有八個數字而已：

◆如果第七位是３：

１８９６５４３（不合）
９８１６５４３（不合）

７８９６５４３（不合）
９８７６５４３（不合）

◆如果第七位是７：

１８９６５４７（不合）
９８１６５４７（不合）

１８３６５４７（不合）
３８１６５４７（合）

答案找到了！就是──

３８１６５４７２９

而且也可以確定答案只有一個。^^

puzzlez
2005/06/26

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