一個問題 數學 想很久 - 拼圖

※ 引述《fredgo (F.D.)》之銘言：
: ※ 引述《jerrylibra (GO)》之銘言：
: : 請數學好的人幫 幫我
: : 這一題我算了好久
: : 題目是 有一個2次函數 y=x^2+4ax+b
: : 然後有一個區間 -1<x<1 然後對應 -1<y<2
: : 求 a,b是多少?
: y'' = 2 > 0
: y' = 2x+4a
: 所以y的極小值-1出現在y'=0(即x=-2a) or x=-1 or x=1 處
: 將y(x)分4個狀況討論
: case1: y(-1)=-1, y(1)=2
: case2: y(1)=-1, y(-1)=2
: case3: y(-2a)=-1, y(-1)=2
: case4: y(-2a)=-1, y(1)=2
: ***********************分析分隔線***********************
: case1: a=3/8, b=-1/2
: case2: a=-3/8, b=-1/2
: case3: y(-2a)=-4a^2+b=-1
: y(-1)=1-4a+b=2
: 可得a=1/2+√(3)/2, b=3+2√3
: 或 a=1/2-√(3)/2, b=3-2√3
: case4: y(-2a)=-4a^2+b=-1
: y(1)=1+4a+b=2
: 可得a=-1/2+√(3)/2, b=3-2√3
: 或 a=-1/2+√(3)/2, b=3+2√3
: 共得到以上六種可能的解



我算的是這樣：

y=x^2+4ax+b
-1 < x < 1
-1 < y < 2

圖形：左低右高→max=y(1),min=y(-1)
y(1)=2 =b+1+4a a=3/8
y(-1)=-1=b+1-4a b=-1/2

圖形：左高右低→max=y(-1),min=y(1)
y(1)=-1=b+1+4a a=-3/8
y(-1)=2 =b+1-4a b=-1/2


now find out min of y → y'=2x+4a → y'=0 → x=-2a
y(-2a) is the min

圖形：左低右高中間有到底→max=y(1),min=y(-2a)
y(1)=2 =b+1+4a 2a^2+2a-1=0
y(-2a)=-1=b-4a^2 a = (-1+√3)/2 , (-1-√3)/2....(-1-√3)/2不合
∵-1<x<1 → -1<-2a<1 → -0.5<a<0.5
∴(-1-√3)/2 = -2.732/2 = -1.36 < -0.5 → 故不合
(-1+√3)/2 = 0.732/2 = 0.36 < 0.5....ok
a = (-1+√3)/2 → b = 3-2√3

圖形：左高右低中間有到底→max=y(-1),min=y(-2a)
y(-1)=2 =b+1-4a
y(-2a)=-1=b-4a^2 2a^2-2a-1=0
a = (1-√3)/2 ....(∵(1+√3)/2 = 1.36 > 0.5 ∴不合)
b = 3-2√3

圖形：左右同高中間有到底→max=y(-1)=y(1),min=y(-2a)
y(-1)=y(1) b+1+4a = b+1-4a → a=0
y(-2a)=-1 y(-2a)=-1 → y(0)=-1=b


所以有上5個答案


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