SET - 桌遊

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原始問題是： 「最多可以湊出幾張牌，在裡面完全找不出SET。」

以下是我在網路上找到的解答。

網址： http://www.setgame.com/set/noset.htm

或許有人不想看英文，我試著翻譯成中文，

由於有圖且頁數較多，以固定頁面位置方式，方便大家閱讀。



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======= Page 2 =======

處理複雜的問題前，通常會先把問題簡化

因此我們先只觀察一張牌的兩種特性：

形狀 (彎曲形、菱形、楕圓形) 與 數量(1、2、3)

如此，我們可以使用一個3x3的矩陣，來標示出每一張牌

　 １　２　３
　┌─┬─┬─┐
彎 │●│ │ │
　 ├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │
　 ├─┼─┼─┤
圓 │ │ │ │
　 └─┴─┴─┘

舉例來說，在上圖中，這個圓點代表的牌：1個彎曲形。

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======= Page 3 =======

利用這個矩陣，我們可以觀察出3張牌是否形成一個SET：

只要在矩陣上連成一條線 (直、橫、斜 皆可)，即代表這3張牌是一個SET。

　 １　２　３
　┌─┬─┬─┐
彎 │●│ │ │
　 ├─┼─┼─┤
菱 │●│ │ │
　 ├─┼─┼─┤
圓 │●│ │ │
　 └─┴─┴─┘

舉例來說，在上圖中，3張牌的圖形數量相同、形狀不同。

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同樣的，在下面的三個圖中，由於都連成一線，因此也都是一種SET。

　 １　２　３ 　 １　２　３ １　２　３
　┌─┬─┬─┐ 　 ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
彎 │ │ │●│ 　彎 │ │ │ │ 彎 │ │●│ │
　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │●│ │ 　 菱 │ │ │ │ 菱 │ │ │●│
　 ├─┼─┼─┤　　　　　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圓 │●│ │ │ 　 圓 │●│●│●│ 圓 │●│ │ │
　 └─┴─┴─┘ 　 └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘

左：數量不同、形狀不同。 中：數量不同、形狀相同。 右：數量不同、形狀不同。



需特別注意最右邊的圖，直觀看起來雖然不是一直線，但是把１這一直列移到最右邊，

還是一個直線。　(把矩陣想成左右兩端會繞回來接在一起)

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在只有形狀與數量兩種特性下，最多可以找到幾張牌，而不會在當中形成SET呢？

利用這個矩陣，我們便可以找到答案。

　 １　２　３
　┌─┬─┬─┐
彎 │●│ │●│
　 ├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │
　 ├─┼─┼─┤
圓 │●│ │●│
　 └─┴─┴─┘

如上圖所示，最多可以標示4個點，而仍然不會構成連線。

意即若只有兩種特性，可以找得出4張牌而不會形成SET。

若是加入第5張，則必定會有SET存在。

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現在我們再加入第三種特性： 填滿狀態 (實心、空心、斜線)

由於有了第三種特性，所以需要有3個3x3的矩陣。

而要觀察連線，可以把這3個3x3的矩陣想像成是疊在一起的，也就是3D版的井字遊戲。

　 １　２　３ 　 １　２　３ １　２　３
　┌─┬─┬─┐ 　 ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
彎 │●│ │●│ 　彎 │ │○│ │ 彎 │ │ │ │
　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │ 　 菱 │○│ │○│ 菱 │ │◎│ │
　 ├─┼─┼─┤　　　　　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圓 │●│ │●│ 　 圓 │ │○│ │ 圓 │ │ │ │
　 └─┴─┴─┘ 　 └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
　實心　　　　　　　　　　　 空心 斜線

如上圖所示，在這個3層的3x3矩陣中，

我們最多可以標示出9個點，而仍然不會形成任何連線。

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最後，我們再放入第四種特性： 顏色 (紅、綠、紫)。

現在是立體版的井字遊戲，再加上第四維度 - 時間軸。

或著也可以想像成往兩種方向交疊的立體版井字遊戲。

我們總共需要 3x3 個 3x3 的矩陣來標示81張牌。

在當中最多可以標示出幾個點，而不會構成連線呢？ (不會形成SET)





答案是： 20。 (若抽出21張牌，則當中100%會存在SET)

完整圖示見下頁。

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　 １　２　３ 　 １　２　３ １　２　３
　┌─┬─┬─┐ 　 ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
彎 │●│ │●│ 　彎 │ │○│ │ 彎 │ │ │ │
　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │ 　 菱 │○│ │○│ 菱 │ │◎│ │ 紅
　 ├─┼─┼─┤　　　　　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圓 │●│ │●│ 　 圓 │ │○│ │ 圓 │ │ │ │
　 └─┴─┴─┘ 　 └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
　┌─┬─┬─┐ 　 ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
彎 │ │●│ │ 　彎 │○│ │○│ 彎 │ │ │ │
　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │●│ │●│ 　 菱 │ │ │ │ 菱 │ │◎│ │ 綠
　 ├─┼─┼─┤　　　　　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圓 │ │●│ │ 　 圓 │○│ │○│ 圓 │ │ │ │
　 └─┴─┴─┘ 　 └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
　┌─┬─┬─┐ 　 ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
彎 │ │ │ │ 　彎 │ │ │ │ 彎 │ │ │ │
　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │●│ │ 　 菱 │ │○│ │ 菱 │ │ │ │ 紫
　 ├─┼─┼─┤　　　　　 ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圓 │ │ │ │ 　 圓 │ │ │ │ 圓 │ │ │ │
　 └─┴─┴─┘ 　 └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
　實心　　　　　　　　　　　 空心 斜線

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======= End =======

思考這個問題的過程，其實滿有趣的，也衍伸想了一些其他的問題。

不過這個原始題目的解答，對我來說還真的滿困難的。



最後，附上BGG上面的一張圖，就是完全找不出SET的20張牌。

http://www.boardgamegeek.com/image/421151/set

^LE

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