ProjectEuler 483 Repeated permutation - 拼圖

483. Repeated permutation

https://projecteuler.net/problem=483

我們把每一個改變數列{1, 2, 3, ..., n}元素順序的操作稱為一種重排。對於有n個

元素的集合則有n!種重排的方式（包括維持所有元素順序不動的操作）。當n = 3時

共有3! = 6種重排方式列舉如下：

- P_1 = 維持原順序不作更動
- P_2 = 交換第一、二個元素
- P_3 = 交換第一、三個元素
- P_4 = 交換第二、三個元素
- P_5 = 所有元素往右輪換一個位置
- P_6 = 所有元素往左輪換一個位置

如果反覆操作其中一種重排，則終將會回到一開始的順序。給定一重排P_i，令f(P_i)

為反覆操作P_i以得到原始順序的最小所需次數。例如，當n = 3時：

- f(P_1) = 1 : (1,2,3) → (1,2,3)
- f(P_2) = 2 : (1,2,3) → (2,1,3) → (1,2,3)
- f(P_3) = 2 : (1,2,3) → (3,2,1) → (1,2,3)
- f(P_4) = 2 : (1,2,3) → (1,3,2) → (1,2,3)
- f(P_5) = 3 : (1,2,3) → (3,1,2) → (2,3,1) → (1,2,3)
- f(P_6) = 3 : (1,2,3) → (2,3,1) → (3,1,2) → (1,2,3)

令g(n)為給定數列長度n時，對所有P_i取f(P_i)^2的平均值。

g(3) = (1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2)/3! = 31/6 ≒ 5.166666667e0
g(5) = 2081/120 ≒ 1.734166667e1
g(20) = 12422728886023769167301/2432902008176640000 ≒ 5.106136147e3

請求出g(350)，以科學記號表示答案至十位有效位數，並如同上面三個例子一般、
以小寫e作為真數與首數的區隔。

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