10把鑰匙 - 拼圖

※ 引述《tw00088437 (喵貓 loves fish)》之銘言：
: ※ 引述《utomaya (烏托馬雅)》之銘言：
: : 第一種情況，手上那把剛好可以開門
: : 機率 = 1/10
: : 第二種情況，只要開一個盒子就好：
: : 譬如說，你手上有第1個盒子的鑰匙，第1個盒子內有門的鑰匙
: : 此部份的機率 = (1/10)*(1/9)+(1/10)*(3/9)+(1/10)*(5/9) = 1/10
: : 第三種情況，要開兩個盒子：
: : 譬如說，你手上有第1個盒子的鑰匙，第1個盒子內有第2個盒子的鑰匙，門的鑰匙在第2個
: : 盒子內
: : 此部份的機率 = (1/10)*(1/9)*(3/8)*2+(1/10)*(1/9)*(5/8)*2+(1/10)*(3/9)*(5/8)*2
: : = 23/360
: : 第四種情況，要開三個盒子：
: : 譬如說，你手上有第1個盒子的鑰匙，第1個盒子內有第2個盒子的鑰匙，第2個盒子內有
: : 第3個盒子的鑰匙，門的鑰匙在第3個盒子內
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: : 此部份的機率 = (1/10)*(1/9)*(3/8)*(5/7)*6 = 1/56
: ^^^^^^^^
: : (1/10)+(1/10)+(23/360)+(1/56) = 71/252 --------#Ans
: 根據題目的敘述 在第四種情況門的鑰匙一定在第三個盒子內
: 所以只要開到了第三個盒子就一定可以打開門了吧?
: 1/10是 可以開第一個箱子的機率
: 1/9是 那個箱子可以開第二個箱子的機率
: 3/8是 那個箱子可以開第三個箱子的機率
: 不過5/7是什麼....@@?
: 感覺上怪怪的^^"


一點都不怪

我來解釋一下好了

假設要開三個盒子，才能拿到那把開門的鑰匙

先把裝有1,3,5隻鑰匙的盒子依序編號為A, B, C

那麼，先考慮其中一種情況，你手上有A盒的鑰匙，A盒內有B盒的鑰匙，B盒內第有C盒的鑰
匙，門的鑰匙在C盒內。

首先，你手上有A盒的鑰匙的機率是1/10

剩下九把鑰匙，這九把鑰匙中能開B盒的鑰匙恰好在A盒的機率是1/9

剩下八把鑰匙，這八把鑰匙中能開C盒的鑰匙恰好在B盒的機率是3/8

剩下七把鑰匙，這時還有7個位置，分別是B盒中有2個位置，C盒中有5個位置

開門的鑰匙在B盒中的機率是2/7，開門的鑰匙在C盒中的機率是5/7

若開門的鑰匙在B盒中(假設A,B,C的鑰匙為a,b,c，開門鑰匙為D，其它鑰匙用Ｘ代替)

那麼就是： ┌─┐ ┌───┐ ┌─────┐
ａ → │ｂ│ │ｃＤＸ│ │ＸＸＸＸＸ│
└─┘ └───┘ └─────┘
↑
手中拿的 A盒 B盒 C盒



變成只要開2個盒子就可以開門，跟狀況三重覆了

所以要乘上5/7才對，剩下的7個位置中只能選5個

┌─┐ ┌───┐ ┌─────┐
ａ → │ｂ│ │ｃＸＸ│ │ＤＸＸＸＸ│
└─┘ └───┘ └─────┘
↑
手中拿的 A盒 B盒 C盒

必須開3個盒子才能開門的機率是(1/10)*(1/9)*(3/8)*(5/7)

但還要考慮3個盒子開啟的順序可以有6種狀況，等於ABC做直線排列，有3!=6種狀況

所以要乘以6

因此這部份的機率是(1/10)*(1/9)*(3/8)*(5/7)*6 = 1/56

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