關於賭場 - 拼圖

※ 引述《pikacha (小億)》之銘言：
: ※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之銘言：
: : 我們知道
: : 一個賭客在賭場裡面賭博
: : 由於賭場的資金 比賭客的資金 還要來的大上許多
: : 所以如果賭到最後一定是賭客輸光
: : 那問題來了
: : 假如把所有賭客的資金加起來
: : 照理來說應該比賭場的資金 還要大上許多吧?
: : 那麼賭場一直經營下去
: : 為什麼最後不是賭場輸光呢?
: : 雖然賭場方的勝率會略高於賭客
: : 不過真的有辦法彌補每天成千上萬的賭客
: : 所累計加起來的賭金差距嗎?
: 1.不是所有賭客都能執行加倍戰術。
: 2.同1,賭場對加注有其限制
: 3.賭場也會對常贏的人有所關切（算牌）
: 4.不是所有的賭客都很理智（不然其實應該不要賭才是。）
: 就先醬，這不是一群螞蟻能打倒大象的故事。


試著用簡化的模型來做一些計算：
假設:
1. 每一次賭博都是獨立事件，賭場贏的機率是 p
2. 賭場贏的話，賭金全拿
3. 賭場輸的話，賠同樣數量的賭金給賭客
4. 每一次下注有上限，稱為 1 個單位

這樣的話，就簡化成 random walk 的問題，
一開始的時候賭場有 n 單位的錢，
每次和賭客對賭有可能變成 n + 1 單位 (機率 p) 或 n - 1 單位 (機率 1-p)
當賭場的錢變 0 的時候就破產。計算賭場破產的機率。

計算過程可以參考 [1]，結論就是：

P(n): 一開始有 n 單位的錢，最後破產的機率
P(1) = min(1, (1 - p) / p)
P(n) = P(1)^n

[1] https://medium.com/i-math/the-drunkards-walk-explained-48a0205d304


P(1) 在 p <= 1/2 時是 1 ，p > 1/2 時會漸漸趨近於 0
也就是說，如果賭局是完全公平的 (50:50) ，賭場遲早會倒。

但是，假如因為規則的制定，賭場勝率略高於賭客，
比如賭場的勝率 p = 51%

P(1) = 96% (如果賭場一開始只有 1 單位的錢，在人類滅絕前有 96% 的機率倒店)
P(100) = 1.8% (如果賭場一開始準備 100 單位的錢，倒店的機率就小於 2%)
P(200) = 0.03%

當然，賭場的規則並不是簡單的輸和贏而已，會有不同的機率和賠率。
不過，理論上我們都可以算出 P(1) (一開始有 1 單位的錢，最後倒店的機率)
而 P(n) = P(1)^n 應該還是成立的
只要 P(1) < 1 ，賭場其實不用太多的錢 (~200個單位)，就可以有效降低倒店的機率。

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