逃脫獅子的看守 - 拼圖

By Emily
at 2016-03-23T07:42

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推 walkwall: 在中心半徑的1/4小圓邊界上繞到獅子反向然後往岸邊衝 03/22 21:24

→ walkwall: 圈以內角速度可超過獅子衝刺時0.75*4=3 < 3.14<PI 03/22 21:27

→ ddtddt: 走牆棒棒。第二問，如何在最短時間內逃出。 03/22 21:38

推 walkwall: 擺線? 03/22 21:41

→ ddtddt: @走牆大，我沒有正解。擺線如何證是最速解@@? 03/22 21:58

推 walkwall: 呃...只是直覺也有可能是擺線的變形 03/22 22:03

→ walkwall: 當然也想過搞笑版最速解 : 搭直升機走或者對獅子吹箭 03/22 22:04

推 walkwall: 認真想過後離開圓心與過臨界點後都應該是直線最快 03/22 23:47

離開圓心時應該不是直線

以下敘述嚴格說來仍有一堆漏洞，需要更進一步說明
我都有把它標註起來。

首先要說明一下這類題目的解其實都是極限行為
[不重要的漏洞]

因為兩對局方各自都要對對手的行為做反應，產生類似雞生蛋、蛋生雞的問題
(比獵人的心滴拳聽還要更厲害的獅子和人 :P)

假設湖半徑 1 (單位自取)
獅子初始位置為 (-1,0)
人的初始位置為(0,0)

我們可以做些假設 [漏洞]
(1) 獅子永遠以最高速繞著湖走，且是沿逆時針方向
(2) 人也是恆處於最高速
(3) 人到岸邊時剛好與獅子碰頭

假設碰頭的點為 P
那為何無法由圓心直接走直線到達 P 呢？
原因是獅子的存在
使得人只能在由獅子算起逆時針 180度的範圍內移動 [by (1)]

令獅子在時間 t 時位於 ( -x(t), -y(y) )
注意線段 L_t: (0,0)─( x(t), (y(t) )

人的走法可能一開始會貼著這個動態的線段走
但由於 (3)
最後必定要離開此線段

(4) 且離開後必定不會再次碰到 L_t [漏洞]
否則我們可以把走法用一直接觸 L_t 的路徑取代
得到更有效率的方法

更進一步 [漏洞]
(5) 在離開 L_t 後，人必定直直朝 P 點，走直線前進
否則我們同樣可以把走法用直線取代

由 (4) 與 (5) 就可以列式求解了
基本上走法就是先走等角速度且等速度的螺線
接著直直朝 P 點前進

P.S.

這種螺線的極座標公式在適當的單位下，會滿足

dr/dt = √(1- r^2 cos(2t) )

不過我用 Mathematica 解不出 explicit 解

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