請問一題數學題目 - 拼圖

※ 引述《peter015 (hi)》之銘言：
: 兩位數ab X兩位數cd = bcad
: 兩位數ad X兩位數cb = abcd
: 求出a=? b=? c=? d=?
: 這要如何推理呢?
: 謝謝大家

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd = 1000b + 100c + 10a + d
(10a + d)(10c + b) = 100ac + 10(ab + dc) + bd = 1000a + 100b + 10c + d
相減得
10(ad + bc - ab - dc) = 1000(b-a) + 100(c-b) + 10(a-c)
化簡得
(a-c)(d-b) = -99a + 90b + 9c = -9(a-c) - 90(a-b)
即
90(a-b) = (a-c)(b-d-9)

因為a,b,c,d都是個位數，等號右邊湊不出180，故|a-b|最大只能為1。

若|a-b| = 0，則a=c或b-d=9
‧若a=c，則原式變成"aa" ×"ad" = "aaad" > "aa00" > "aa" ×"ad"不合。
　‧若b-d=9，則b=9、d=0、a=9，則原第一式變成
99 ×10c = 9090 + 100c或890c = 9090，解出c不為整數，亦不合。

故|a-b| = 1
上式的等號左邊為90，要分解為等號右邊兩式的乘積，可能的組合有
5 ×18、6 ×15、9 ×10

‧|a-c| = 5、b-d = -9
則b = 0、d = 9、a = 1、c = 6代入原式不合。

‧|a-c| = 6、b-d = -6，故b最大為3，由a和b差1得a-c = -6代回得a-b = 1
　‧若d = 6則b = 0、a = 1、c = 7亦不合。
　‧若d = 7則b = 1、a = 2、c = 8代入原式得21 ×87 = 1827、27 ×81 = 2187。
此為一組解。
　‧若d = 8則b = 2、a = 3、c = 9亦不合。
‧若d = 9則b = 3、a = 4和a-c = -6不合。

‧|a-c| = 9、b-d = -1
　此時a和c必有一為0，和原式要求的兩位數不合，可不考慮。

故存在唯一一組解a = 2、b = 1、c = 8、d = 7。

--