大家都知道異轉西遊X鐵扇時，會使得全隊異轉西遊與鐵扇三圍1.3倍
對於整隊的倍率是幾倍？
這結論沒那麼顯然是因為整體倍率受到
卡片屬性 卡片攻擊力 鐵扇追打次數 隊長技
這四個因素相互影響
不過大家應該都體感的出來以下事情：
＊鐵扇因為高攻，所以打很多下時傷害貢獻幾乎就是她，所以配牛王增傷就趨於1.3倍
＊其他卡片基攻如果很高，那牛王buff鐵扇的倍率就顯得越低
至於嚴格計算是什麼結果，就要實際驗證
本篇以煉化牛魔王來計算，他屬西遊的話就留給各位作練習。
原本要直接用那岐隊來算，可是定義了"相對純色"後，這數據適用的範圍也變廣
因此需要請看官接受一下這新名詞（第三頁有解釋）
Question：隊長(L) + 隊員1,隊員2,鐵扇,煉牛 + 隊友(F) --(1)
隊長(L) + 隊員1,隊員2,鐵扇,Ａ + 隊友(F) --(2)
其中：＊隊長(L,F)、隊員1,2,Ａ皆非異轉西遊與鐵扇
＊隊長(L,F)、隊員1,2,Ａ不一定是木屬
＊隊長(L,F)是相對純色隊
則(1)是(2)的幾倍？
Ans: 0.98 ~ 1.52 也就是說，Ａ只要擺張1.5倍對應同色增傷卡，效益就比煉牛好
＊"相對純色隊"是指
(1) 若頭尾木隊長，則相對純色就是木屬
(2) 若火木二消隊，則相對純色就是火木屬
(3) 若頭尾關羽隊，則相對純色就是水火木屬
因此貂蟬、光古、冥王這些沒有彼此兼屬的不在討論範圍
＊"對應同色"增傷卡所說的"同色"指的就是上述三者的相對純色
例子：
(1) 頭尾木隊長：Ａ只要有木1.5倍增傷即可，如風狸、木北遺、三屬巫女
(2) 火木二消隊：Ａ只要同時有火木1.5倍增傷即可，如木北遺、三屬巫女
(3) 頭尾關羽隊：Ａ只要同時有水火木1.5倍增傷即可，如木北遺、三屬巫女
接下來就看看如何得到這個數據範圍
=============== 慎入 =================
=============== 慎入 =================
=============== 慎入 =================
我都說三次了 有副作用不能怪我( ′-`)y-～
令 x：隊長(L,F)、隊員1,2這四張卡中，吃得到相對純色倍攻的攻擊力總和
（那岐隊如果在隊員1,2放非木屬，那非木屬的攻擊力就不算在x內
火木二消隊因為只能放火木，而且這兩屬互兼，所以x就是這四張卡攻擊總和）
y：鐵扇總攻擊次數
z：Ａ屬性是隊長相對純色其一的攻擊力，則z=Ａ攻擊力
Ａ屬性非隊長相對純色其一的攻擊力，則z=0
（那岐隊如果Ａ擺火巫，那z=0
二消隊如果Ａ擺火巫，那z=火巫攻擊力）
再來用神魔現今可以上的了檯面而且可放入鐵扇與煉牛的組合看三個變量的範圍：
(1) 隊長最低攻木古希1355、最高攻木童話2508
因此 2710≦x≦10032
下界是頭尾木古希而且隊員1,2都不是木屬
上界是頭尾木童話而且隊員1,2都是木童話
(2) 1≦y≦11
下界是沒開鐵扇時
上界鐵扇自己1下+追打最多10下
(3) 全神魔卡片最低攻0、最高攻八封王3050
因此0≦z≦3050
（關羽隊中如果放八封王，那他的攻擊力是算入的）
其中x,y,z皆是非負整數
有了這些變量，我們的目標函數就是
x + 3341y + 1985
f(x,y,z) := ───────── ：[2710,10032] X [1,11] X [0,3050]∩Ν^3 → R
x + 2570y + z
其中：(1) 分子是煉牛取代Ａ的隊伍攻擊力
(2) 分母是Ａ沒被取代的隊伍攻擊力
(3) 定義域是三維長方形的整數點，令為d
(4) 對應域是實數
令 s = f的值域 = {f(x,y,z)：(x,y,z)€d}
原問題的答案分別就是 Max s, Min s
好消息來了
因為d集合數量有限，只有245767203個
此s集合的數量最多只有245767203個
只要把這幾個帶入看誰最大誰最小，就是答案了(‧^ω^‧)
嗯...這其實也是壞消息( ‵□′)───C＜─___-)|||
或許你想到說每次固定兩個變量，例如固定y,z
然後帶入幾個x的函數值就知道規律
但由於這個定義域是"分離"的(discrete)，微分不能使用
只能土法煉鋼不等式硬爆出所有規律
因此，我們把d拓展到 D = [2710,10032] X [1,11] X [0,3050]
x + 3341y + 1985
f拓展到 F：D → R by F(x,y,z) := ────────
x + 2570y + z
顯然的，F restricted in d is f
拓展成F：D→R後，有很多好處：
(1)F為連續函數定義在緊緻集合D（在歐幾里得空間等價於有界閉集合）
因此F必能在D中分別找到兩個點使得他們的函數值分別就是F在D上的最大值與最小值
(2)F在D的內點可微分，微分正負可以幫助我們知道遞增遞減性
(3)只要F的最大值與最小值剛好都可以在D的整數點取到
那正好就是f在d上取到的最大值與最小值，見以下claim
-----------------------------------------------------------------------
<claim 1> (只證max，min同理)
If max F = F(a,b,c) for some (a,b,c)€d
D
Then max f = F(a,b,c)
d
proof:
max f ≦ max F = F(a,b,c) = f(a,b,c) ≦ max f
d D d
That is, max f = f(a,b,c)
d
-----------------------------------------------------------------------
再來先別急著對F做事情，觀察F的z變量只有在分母
所以只要x,y固定的話，z越大則F越小（分子不變且分母變大）
因此F最大一定發生z=0，最小則在z=3050在即以下claim
---------------------------------------------------------------------------
<Claim 2> (只證max，min同理)
Let D' := [2710,10032] X [1,11]
G(x,y) := F(x,y,0) ： D'→R
Then max F = max G
D D'
proof:
max F = F(a,b,c) for some (a,b,c)€D
D
Assume c≠0 , then F(a,b,c) < F(a,b,0) which is contradictory to max F
D
Hence max F = F(a,b,0) for some (a,b,0)€D
D
Now max G ≦ max F = F(a,b,0) = G(a,b) ≦ max G
D' D D'
The above implies max F = max G
D D'
---------------------------------------------------------------------------
至此，我們從f拓展到F，然後只要考慮G這個雙變數函數即可
（F的最大值 = G(x,y):= F(x,y,0) 在D'上的最大值
F的最小值 = H(x,y):= F(x,y,3050)在D'上的最小值）
現在我們來看F的最大值 = G(x,y):= F(x,y,0)的最大值
藉由偏微分我們發現：
(1) G_x(x,y) < 0 ：固定每個y時，x越小則G越大
(2) G_y(x,y) < 0 if x < 6617：固定每個x時，y越小則G越大
= 0 if x = 6617：當x = 6617時，G(6617,y)恆等於1.3
> 0 if x > 6617：固定每個x時，y越大則G越大
因此先讓x往最左跑，跑到最左邊 x = 2715時，剛好符合"G_y(x,y) < 0 if x < 6617"
這個情況，所以y再往下跑，因此G的最大值即是 G(2710,1)
同樣手法可以證明H的最小值是 H(10032,1)
順帶一提，如果對這個定理（可微分函數在內點若為相對極值則各方向偏微分為0）
還記得的話，由"G_x(x,y) < 0"就可以推論出G的最大值一定在邊界上
所以只要觀察邊界即可
==========================================================================
綜合以上，回答最原始的問題：
(1) 煉牛in鐵扇的倍率最大值
= G(2710,1) = F(2710,1,0) = f(2710,1,0) = 1.52
（頭尾木古希，隊員1,2,Ａ皆非木屬）
(2) 煉牛in鐵扇的倍率最小值
= H(10032,1) = F(10032,1,3050) = f(10032,1,3050) = 0.98
（頭尾木童話，隊員1,2都是木童話，且假設八封王是木屬）
＊當初會把z的最大值設成3050是因為二消、關羽隊都可以放八封王
如果追求最小值的真實情況，在"頭尾木童話"下Ａ的攻擊最高木屬人選是木童話
那最小值就會是 f(10032,1,2508) = 1.01
不過我們在意的是Ａ要放幾倍增傷才能恆贏牛王，故最小值不重要
==========================================================================
鐵扇不僅可以拿來失望，還可以複習數學 真棒(‧^ω^‧)
--
對於整隊的倍率是幾倍？
這結論沒那麼顯然是因為整體倍率受到
卡片屬性 卡片攻擊力 鐵扇追打次數 隊長技
這四個因素相互影響
不過大家應該都體感的出來以下事情：
＊鐵扇因為高攻，所以打很多下時傷害貢獻幾乎就是她，所以配牛王增傷就趨於1.3倍
＊其他卡片基攻如果很高，那牛王buff鐵扇的倍率就顯得越低
至於嚴格計算是什麼結果，就要實際驗證
本篇以煉化牛魔王來計算，他屬西遊的話就留給各位作練習。
原本要直接用那岐隊來算，可是定義了"相對純色"後，這數據適用的範圍也變廣
因此需要請看官接受一下這新名詞（第三頁有解釋）
Question：隊長(L) + 隊員1,隊員2,鐵扇,煉牛 + 隊友(F) --(1)
隊長(L) + 隊員1,隊員2,鐵扇,Ａ + 隊友(F) --(2)
其中：＊隊長(L,F)、隊員1,2,Ａ皆非異轉西遊與鐵扇
＊隊長(L,F)、隊員1,2,Ａ不一定是木屬
＊隊長(L,F)是相對純色隊
則(1)是(2)的幾倍？
Ans: 0.98 ~ 1.52 也就是說，Ａ只要擺張1.5倍對應同色增傷卡，效益就比煉牛好
＊"相對純色隊"是指
(1) 若頭尾木隊長，則相對純色就是木屬
(2) 若火木二消隊，則相對純色就是火木屬
(3) 若頭尾關羽隊，則相對純色就是水火木屬
因此貂蟬、光古、冥王這些沒有彼此兼屬的不在討論範圍
＊"對應同色"增傷卡所說的"同色"指的就是上述三者的相對純色
例子：
(1) 頭尾木隊長：Ａ只要有木1.5倍增傷即可，如風狸、木北遺、三屬巫女
(2) 火木二消隊：Ａ只要同時有火木1.5倍增傷即可，如木北遺、三屬巫女
(3) 頭尾關羽隊：Ａ只要同時有水火木1.5倍增傷即可，如木北遺、三屬巫女
接下來就看看如何得到這個數據範圍
=============== 慎入 =================
=============== 慎入 =================
=============== 慎入 =================
我都說三次了 有副作用不能怪我( ′-`)y-～
令 x：隊長(L,F)、隊員1,2這四張卡中，吃得到相對純色倍攻的攻擊力總和
（那岐隊如果在隊員1,2放非木屬，那非木屬的攻擊力就不算在x內
火木二消隊因為只能放火木，而且這兩屬互兼，所以x就是這四張卡攻擊總和）
y：鐵扇總攻擊次數
z：Ａ屬性是隊長相對純色其一的攻擊力，則z=Ａ攻擊力
Ａ屬性非隊長相對純色其一的攻擊力，則z=0
（那岐隊如果Ａ擺火巫，那z=0
二消隊如果Ａ擺火巫，那z=火巫攻擊力）
再來用神魔現今可以上的了檯面而且可放入鐵扇與煉牛的組合看三個變量的範圍：
(1) 隊長最低攻木古希1355、最高攻木童話2508
因此 2710≦x≦10032
下界是頭尾木古希而且隊員1,2都不是木屬
上界是頭尾木童話而且隊員1,2都是木童話
(2) 1≦y≦11
下界是沒開鐵扇時
上界鐵扇自己1下+追打最多10下
(3) 全神魔卡片最低攻0、最高攻八封王3050
因此0≦z≦3050
（關羽隊中如果放八封王，那他的攻擊力是算入的）
其中x,y,z皆是非負整數
有了這些變量，我們的目標函數就是
x + 3341y + 1985
f(x,y,z) := ───────── ：[2710,10032] X [1,11] X [0,3050]∩Ν^3 → R
x + 2570y + z
其中：(1) 分子是煉牛取代Ａ的隊伍攻擊力
(2) 分母是Ａ沒被取代的隊伍攻擊力
(3) 定義域是三維長方形的整數點，令為d
(4) 對應域是實數
令 s = f的值域 = {f(x,y,z)：(x,y,z)€d}
原問題的答案分別就是 Max s, Min s
好消息來了
因為d集合數量有限，只有245767203個
此s集合的數量最多只有245767203個
只要把這幾個帶入看誰最大誰最小，就是答案了(‧^ω^‧)
嗯...這其實也是壞消息( ‵□′)───C＜─___-)|||
或許你想到說每次固定兩個變量，例如固定y,z
然後帶入幾個x的函數值就知道規律
但由於這個定義域是"分離"的(discrete)，微分不能使用
只能土法煉鋼不等式硬爆出所有規律
因此，我們把d拓展到 D = [2710,10032] X [1,11] X [0,3050]
x + 3341y + 1985
f拓展到 F：D → R by F(x,y,z) := ────────
x + 2570y + z
顯然的，F restricted in d is f
拓展成F：D→R後，有很多好處：
(1)F為連續函數定義在緊緻集合D（在歐幾里得空間等價於有界閉集合）
因此F必能在D中分別找到兩個點使得他們的函數值分別就是F在D上的最大值與最小值
(2)F在D的內點可微分，微分正負可以幫助我們知道遞增遞減性
(3)只要F的最大值與最小值剛好都可以在D的整數點取到
那正好就是f在d上取到的最大值與最小值，見以下claim
-----------------------------------------------------------------------
<claim 1> (只證max，min同理)
If max F = F(a,b,c) for some (a,b,c)€d
D
Then max f = F(a,b,c)
d
proof:
max f ≦ max F = F(a,b,c) = f(a,b,c) ≦ max f
d D d
That is, max f = f(a,b,c)
d
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再來先別急著對F做事情，觀察F的z變量只有在分母
所以只要x,y固定的話，z越大則F越小（分子不變且分母變大）
因此F最大一定發生z=0，最小則在z=3050在即以下claim
---------------------------------------------------------------------------
<Claim 2> (只證max，min同理)
Let D' := [2710,10032] X [1,11]
G(x,y) := F(x,y,0) ： D'→R
Then max F = max G
D D'
proof:
max F = F(a,b,c) for some (a,b,c)€D
D
Assume c≠0 , then F(a,b,c) < F(a,b,0) which is contradictory to max F
D
Hence max F = F(a,b,0) for some (a,b,0)€D
D
Now max G ≦ max F = F(a,b,0) = G(a,b) ≦ max G
D' D D'
The above implies max F = max G
D D'
---------------------------------------------------------------------------
至此，我們從f拓展到F，然後只要考慮G這個雙變數函數即可
（F的最大值 = G(x,y):= F(x,y,0) 在D'上的最大值
F的最小值 = H(x,y):= F(x,y,3050)在D'上的最小值）
現在我們來看F的最大值 = G(x,y):= F(x,y,0)的最大值
藉由偏微分我們發現：
(1) G_x(x,y) < 0 ：固定每個y時，x越小則G越大
(2) G_y(x,y) < 0 if x < 6617：固定每個x時，y越小則G越大
= 0 if x = 6617：當x = 6617時，G(6617,y)恆等於1.3
> 0 if x > 6617：固定每個x時，y越大則G越大
因此先讓x往最左跑，跑到最左邊 x = 2715時，剛好符合"G_y(x,y) < 0 if x < 6617"
這個情況，所以y再往下跑，因此G的最大值即是 G(2710,1)
同樣手法可以證明H的最小值是 H(10032,1)
順帶一提，如果對這個定理（可微分函數在內點若為相對極值則各方向偏微分為0）
還記得的話，由"G_x(x,y) < 0"就可以推論出G的最大值一定在邊界上
所以只要觀察邊界即可
==========================================================================
綜合以上，回答最原始的問題：
(1) 煉牛in鐵扇的倍率最大值
= G(2710,1) = F(2710,1,0) = f(2710,1,0) = 1.52
（頭尾木古希，隊員1,2,Ａ皆非木屬）
(2) 煉牛in鐵扇的倍率最小值
= H(10032,1) = F(10032,1,3050) = f(10032,1,3050) = 0.98
（頭尾木童話，隊員1,2都是木童話，且假設八封王是木屬）
＊當初會把z的最大值設成3050是因為二消、關羽隊都可以放八封王
如果追求最小值的真實情況，在"頭尾木童話"下Ａ的攻擊最高木屬人選是木童話
那最小值就會是 f(10032,1,2508) = 1.01
不過我們在意的是Ａ要放幾倍增傷才能恆贏牛王，故最小值不重要
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鐵扇不僅可以拿來失望，還可以複習數學 真棒(‧^ω^‧)
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