杜鵑花節-數學系有獎徵答 2010 - 拼圖

第一題就是鴨皇最愛，但在本版好像OP得嚴重

1. 32個金幣，恰有一假幣，但不知道假幣較重或較輕

a)最少要秤幾次

b) (直接殺最廣義~) n個金幣中一假幣最少需秤k次，求n與k的關係式。

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2.一個時鐘，在某時間若是時針分針對調之後，還是一個可能出現的時間，則稱
這個時刻是"可對調"的。(例如6:00是一個不可對調的時間)

問：早上6點到晚上6點之間，有多少次"可對調"的時刻

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3. m, n 為質數，且n^2 + 3nm + m^2 為完全平方數。找出所有解。

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4. 鴿籠原理

a) 1~200 選 101個數，必有兩數a、b 滿足 a|b 或 b|a

b) 10個人，每個人都介於1~60歲之間，現在將10人種取若干人，任意分成兩組
(例如取前8個人，3人及5人一組)。試證，必有一種分法使得兩組歲數總和相等。

c) 平面上17點，任三點不共線。將所有兩點連線塗上紅、白、黑三色，證明必有一
三角形由同一種顏色的邊圍成。

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5. 甲乙丙丁四人，在中英法日四種語言中每人恰會兩種。

(a)沒有一種語言所有人都會
(b)只有一種語言有三個人會
(c)乙不會英語，但甲丙交談需要他翻譯
(d)甲會日語、丁不懂日語，但可以交談
(e)乙丙丁三人不能以同一種語言交談
(f)沒有人既會日語又會法語

│ 中　│　英　│　法　│　日 │
甲│　　　│ │ │ │
乙│　　　│ │ │ │
丙│　　　│ │ │ │
丁│　　　│ │ │ │

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6. 半徑為1的圓盤，擲一球使其隨機停在圓周上A點。再擲一球停在B點，
求AB大於√3 /2 的機率是多少？

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7. n個數 a1~an ，每個數都是1或-1。已知

a1a2a3a4 + a2a3a4a5 + ... + ana1a2a3 = 0
\ 共n項 /

則求證n是4的倍數

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8. a、b、c 都是正數 求證

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ≧ 3/2

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9. 三維空間中，一個「正方體骨架」，與下列何者拓撲同構

A.球 B.甜甜圈 C.兩個洞 D.四個洞 E.五個洞 F.六個洞

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10. 今年杜鵑花節是2010年3月13號，試求 313 ^(2010) 的末三位數。

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怎麼不是積分換大小獎品制...今年很黑箱。不管，反正我也是A了題目就跑。 以上






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