快問快答：不可靠的問答！ - 西洋棋

雖然上篇推文有雷了，還是意思意思防個










1. (*) 注意到後三個問題兩人回答都相異
因此若有誠實族，另一個必為說謊族。 但如此與第一個問題的回答矛盾。

若有不可靠族，另一個必須也是不可靠族(由第一個問題得知)
但如此又與 (*) 矛盾

因此兩者皆為說謊族。
剩下簡單消去。














2. 假設包括主人有 n 個姊妹，其中 m 人藍眼
機率 = C(m,2)/C(n,2) = [m(m-1)] / [n(n-1)] 欲等於 1/2

表列

x 1 2 3 4 5
x(x-1) 0 2 6 12 20

找到使 n 最小的解 n=4, m=3













3.


○●□□□□□□
□□○●□□□□
□□□□○●□□
□□□□□□○●
●○□□□□□□
□□●○□□□□
□□□□●○□□
□□□□□□●○

(突然注意到不知道能否使每個行、列、對角線都只有1黑1白
不然幹嘛有兩種顏色
要再湊湊看...)







如果只要求兩條對角線:

○●□□□□□□
□□○●□□□□
□□□□●○□□
□□□□□□●○
●○□□□□□□
□□●○□□□□
□□□□○●□□
□□□□□□○●







[補充]
對角線的定義實在太模糊了
有好幾種解釋

1) 如果是皇后的攻擊範圍
也許題目改成皇后會比較好

2) 如果只是矩陣上那兩條主副對角線
那解就很多了

3) 如果是我原本想強化的:
令左上角的格子座標為 (0,0), 其下為 (1,0)

For k=0,1,...,7, 第 k 條主對角線定義為
座標 (i,j) such that j-i = k in Z_8 (就是取餘數 8 的意思)
比如下圖的 ※ 構成第 1 條主對角線

□※□□□□□□
□□※□□□□□
□□□※□□□□
□□□□※□□□
□□□□□※□□
□□□□□□※□
□□□□□□□※
※□□□□□□□

而 For k=0,1,...,7, 第 k 條副對角線定義為
座標 (i,j) such that i+j = k in Z_8
比如下圖的 ※ 為第 2 條副對角線

□□※□□□□□
□※□□□□□□
※□□□□□□□
□□□□□□□※
□□□□□□※□
□□□□□※□□
□□□□※□□□
□□□※□□□□

那這個問題就是要兩個互斥的強化版八皇后解。
我去查了一下八皇后的解，發現連一個顏色都沒辦法填入。
也許有比較數學的證明，不過我目前沒有想到。

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P.S.
恩，想到了
我們叫這個問題為甜甜圈上的 n 皇后
要滿足

A. 每一行
B. 每一列
C. 每一主對角線
D. 每一副對角線

上皆僅有一個皇后
那事實上能證明 n=8 時，不可能滿足 A. B. C. (或 A. B. D., by symmetry)

假設此 n 皇后的位置是 (x_i,y_i), i=1,2,...,n
那由 B. 知 x_1 + x_2 + ... + x_n = 1+2+...+n
由 A. 知 y_1 + y_2 + ... + y_n = 1+2+...+n
由 C. 知 (x_1+y_1) + (x_2+y_2) + ... + (x_n+y_n) = 1+2+...+n

n=8 時， 2(1+2+...+n) = 8 ≠ 4 = (1+2+...+n)
故無解

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另外我也有想說既然在西洋棋盤上，
就試試看逆向問題如何。
但發現四個邊際都有一黑一白，根本無法走到這種局面。





















頁尾防雷









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