帽子遊戲 - 拼圖

這題真的滿複雜的，底下列出我自己的詳解，希望我沒有任何地方算錯。

※ 引述《pleasesaveme (Ivan)》之銘言：
: 擇三個正整數分別貼在A, B, C之帽子上，三人皆知其中有一數為其他二數之和，
: 但不知道是哪個人戴的為其他兩者之和。
: 整個過程中每個人都只能看到另外兩人的帽子。
: 　　　A說：「我不知我帽子上的數。」

底下以 abc 表示 ABC 三人的數字。
只有在一種情況下 A 有可能知道 a 的值，就是當 b=c 的時候；
此時 a 只有可能是 b+c，因為條件說 a>0。
除此之外 A 不可能知道 a 是多少，因為若 b≠c，
則 a 可能是 b-c 或 b+c，無法判斷。
故 A 這句話提供的資訊為 b≠c。

為了方便起見，把這樣的一種推論關係記為 A:b≠c。

: 　　　B說：「我不知我帽子上的數。」

這裡面的推論有：

B:a≠c
B:b≠c→a≠2c

第二個推論的理由在於，若 a=2c，則由於 b≠c、a=b+c 就不能發生，
於是只有可能是 b=a+c，如此一來 B 就知道 b 的值了。

: 　　　C說：「我不知我帽子上的數。」

C:a≠b
C:c≠b→a≠2b
C:c≠a→b≠2a
C:a≠2c→b≠(3/2)a（這箇中道理應該各位已經可以明白了）

: 　　　A說：「我不知我帽子上的數。」

A:a≠c→b≠2c
A:a≠b→c≠2b
A:b≠2a→c≠(3/2)b
A:a≠2c→b≠3c
A:a≠2b→c≠3b
A:b≠(3/2)a→c≠(5/2)b

: 　　　B說：「我不知我帽子上的數。」

B:a≠b→c≠2a
B:a≠2b→c≠(3/2)a
B:c≠2b→a≠(3/2)c
B:b≠2a→c≠3a
B:b≠(3/2)a→c≠(5/2)a
B:b≠2c→a≠3c
B:c≠(3/2)b→a≠(5/3)c
B:b≠3c→a≠4c
B:c≠3b→a≠(4/3)c
B:c≠(5/2)b→a≠(7/5)c

: 　　　C說：「我不知我帽子上的數。」

C:b≠2c→a≠(3/2)b
C:c≠2b→a≠3b
C:c≠(3/2)b→a≠(5/2)b
C:b≠3c→a≠(4/3)b
C:c≠3b→a≠4b
C:c≠(5/2)b→a≠(7/2)b
C:c≠2a→b≠3a
C:c≠(3/2)a→b≠(5/2)a
C:a≠(3/2)c→b≠(5/3)a
C:c≠3a→b≠4a
C:c≠(5/2)a→b≠(7/2)a
C:a≠3c→b≠(4/3)a
C:a≠(5/3)c→b≠(8/3)a
C:a≠4c→b≠(5/4)a
C:a≠(4/3)c→b≠(7/4)a
C:a≠(7/5)c→b≠(12/7)a

: 　　　A說：「我帽子上的數是34。」

我們先來想像一下好了：假如這次 A 的答案仍舊是「不知道」，
那麼我們可以得到哪些推論？如果重複上面的過程，我們會得到：

A:c≠2a→b≠(3/2)c
A:c≠(3/2)a→b≠(5/3)c
A:a≠(3/2)c→b≠(5/2)c
A:c≠3a→b≠(4/3)c
A:c≠(5/2)a→b≠(7/5)c
A:a≠3c→b≠4c
A:a≠(5/3)c→b≠(8/3)c
A:a≠4c→b≠5c
A:a≠(4/3)c→b≠(7/3)c
A:a≠(7/5)c→b≠(12/5)c
A:a≠(3/2)b→c≠(5/2)b
A:a≠3b→c≠4b
A:a≠(5/2)b→c≠(7/2)b
A:a≠(4/3)b→c≠(7/3)b
A:a≠4b→c≠5b
A:a≠(7/2)b→c≠(9/2)B
A:b≠3a→c≠(4/3)b
A:b≠(5/2)a→c≠(7/2)b
A:b≠(5/3)a→c≠(8/5)b
A:b≠4a→c≠(5/4)b
A:b≠(7/2)a→c≠(9/7)b
A:b≠(4/3)a→c≠(8/4)b
A:b≠(8/3)a→c≠(11/3)b
A:b≠(5/4)a→c≠(9/5)b
A:b≠(7/4)a→c≠(11/7)b
A:b≠(12/7)a→c≠(19/12)b

可是，這回 A 並非回答「不知道」而是回答「a=34」，
這表示上面這一大串的推論裡面有一個其實等式發生了，
所以 A 可以藉由該等式推知 a=34。

那麼上面那堆推論當中哪一個的等號成立可以導致 a=34？

答案就是「b≠(12/5)c」這條。若換成等式，
則由稍早的「a≠(7/5)c」（這是 B 第二輪的回答之暗示）可知只能是 a=b+c，
此時易反推出 b=24, c=10，從而 A 可以藉由這些訊息推出 a=34。

各位可以檢查其他任何一條推論換成等式都沒辦法導致 a=34 這個結論，
主要的問題都在於整除性，因為替換成其他的推論都會冒出一個無法整除 34 的分母。

所以最後的結論是：b=24, c=10。

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有桌堪翻直須翻，莫待無桌後空翻

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