將帥在九宮格移動的特性 - 象棋

７─８─９
│＼│／│
４─５─６
│／│＼│
１─２─３

直行代表初始位置，橫列代表接下來的位置。
在K^n矩陣裡若元素A_ij等於X，表示經過n次
後將帥由i移動至j有X種不同選擇路徑。

K^1
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
１│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
２│ 1│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 0│ 0│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
３│ 0│ 1│ 0│ 0│ 0│ 1│ 0│ 0│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
４│ 1│ 0│ 0│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
５│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
６│ 0│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 0│ 0│ 1│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
７│ 0│ 0│ 0│ 1│ 0│ 0│ 0│ 1│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
８│ 0│ 0│ 0│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│ 1│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
９│ 0│ 0│ 0│ 0│ 0│ 1│ 0│ 1│ 0│
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘


K^2
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
１│ 2│ 0│ 1│ 0│ 2│ 0│ 1│ 0│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
２│ 0│ 3│ 0│ 2│ 0│ 2│ 0│ 1│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
３│ 1│ 0│ 2│ 0│ 2│ 0│ 0│ 0│ 1│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
４│ 0│ 2│ 0│ 3│ 0│ 1│ 0│ 2│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
５│ 2│ 0│ 2│ 0│ 4│ 0│ 2│ 0│ 2│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
６│ 0│ 2│ 0│ 1│ 0│ 3│ 0│ 2│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
７│ 1│ 0│ 0│ 0│ 2│ 0│ 2│ 0│ 1│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
８│ 0│ 1│ 0│ 2│ 0│ 2│ 0│ 3│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
９│ 0│ 0│ 1│ 0│ 2│ 0│ 1│ 0│ 2│
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘


K^3
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
１│ 0│ 5│ 0│ 5│ 0│ 3│ 0│ 3│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
２│ 5│ 0│ 5│ 0│ 8│ 0│ 3│ 0│ 3│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
３│ 0│ 5│ 0│ 3│ 0│ 5│ 0│ 3│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
４│ 5│ 0│ 3│ 0│ 8│ 0│ 5│ 0│ 3│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
５│ 0│ 8│ 0│ 8│ 0│ 8│ 0│ 8│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
６│ 3│ 0│ 5│ 0│ 8│ 0│ 3│ 0│ 5│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
７│ 0│ 3│ 0│ 5│ 0│ 3│ 0│ 5│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
８│ 3│ 0│ 3│ 0│ 8│ 0│ 5│ 0│ 5│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
９│ 0│ 3│ 0│ 3│ 0│ 5│ 0│ 5│ 0│
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘

K^4
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐
１│10│ 0│ 8│ 0│16│ 0│ 8│ 0│ 6│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
２│ 0│18│ 0│16│ 0│16│ 0│14│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
３│ 8│ 0│10│ 0│16│ 0│ 6│ 0│ 8│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
４│ 0│16│ 0│18│ 0│14│ 0│16│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
５│16│ 0│16│ 0│32│ 0│16│ 0│16│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
６│ 0│16│ 0│14│ 0│18│ 0│16│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
７│ 8│ 0│ 6│ 0│16│ 0│10│ 0│ 8│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
８│ 0│14│ 0│16│ 0│16│ 0│18│ 0│
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
９│ 6│ 0│ 8│ 0│16│ 0│ 8│ 0│10│
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘

--