在偶像杯買歌還要算數學是否搞錯了什麼 - 手遊

By George
at 2022-09-14T23:32

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寫在最前面的警告，若您符合以下任何一個敘述：

○我是來養馬的，不是來算數學的
○我看到算式和一堆字就會頭昏眼花
○我養馬全靠置底大神與肌肉記憶，動腦什麼的太麻煩了
○再怎麼會算還不是會被機率婊，沒用啦！

請立即左轉跳出這篇文章，避免引起嚴重的過敏反應！

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總之算是之前在做表格時的副產物
因為得到了一些挺有意思的結果就上來簡單分享一下
比起聊天更像是自由研究的一種(

最初的發想是想試算每次買歌的時候5種代幣消耗的期望值
但因為發現計算過於複雜不太容易用表格實現就作罷

然後在前陣子板友有提出了買歌/卡歌的相關策略
然後就出現了一個情境：

「如果我第一年代幣夠買第4首歌，那我應該卡著賺幣還是直接買？」
先講個人看法：只要不是相對太爛的曲子能買歌就盡量買，數量很重要

==現在是數學時間==

首先要先聲明以下計算都是建立在這些前提：

◇每首歌曲出現機率皆相同(無權重)
◇每次抽歌曲皆為獨立事件
◇計算當下總共有N個可能出現的歌曲
◇這N首歌裡面有K個屬於「優質」，也就是出現的話你會想買的歌

有點抽象嗎？那舉個實際一點的例子好了
https://i.imgur.com/Z1UsT1x.png

現在時間點是剛進入第三年，已經購買了的歌曲都被灰底處理了
那麼歌曲池中總共有10個可選歌曲，我們的目標顯然是2個10%友情的歌曲

那麼刷完課程後，3首可選購的歌曲中
至少有一首10%友情曲的機率是多少呢？(N=10,K=2)

雖然這邊感覺老人味很重，但也許你依稀對這個敘述有個印象：
「袋中有2顆紅球與8顆白球，一次取3顆至少有1紅球的機率為何？」

那麼就很明顯了，其機率為1-P(取3顆皆為白球)
在這個例子為 1-(C8取3)/(C10取3) = 1-56/120 ≒ 53.33%
也就是有將近一半的機率是看不到10%友情歌曲的
隨後基於上述的前提加以推廣就得到下表：

https://i.imgur.com/V2v1BII.png

例如剛剛的例子就能像這樣直接查表得到結果
https://i.imgur.com/dgJGEu1.png

這個表還有個特別的用法：
https://i.imgur.com/fb0xft5.png

當你沒買到想要的歌曲時N-1,K不變，下次有想要的曲子機率往上移動一格
當你有買到的話N-1且K-1，下次有想要的曲子機率往左上移動一格

可以發現到「有辦法買齊2首10%友情曲」的機率其實並不算高
至於詳細到底是多少就不在這細算了，只買3次大約是一半上下
道理也很簡單，剩的歌太多買完一首之後要抽中另一首其實不算容易
而且這邊僅僅計算歌曲出現率而已，並不包含你代幣分布不好卡住的情況
那要提高這個機率的做法顯然只有「盡可能壓縮未購曲數量N」

......好像不用算這些東西也能得到一樣的結論？

雖然這樣講也不能算錯，只是個人基於個性關係不是很喜歡感覺流的結論
砂井大學榮譽教授羅母曾經有說過(沒有的話就是我記錯了)
一樣都是丟骰子，你能做的努力就是把骰子點數平均弄大一點
不過這個表好像對於讓點數變大沒有太多幫助ㄝㄝ
把機率攤開來的好處基本上只有提前知道大概有多少把握這把糊了
或者被機率婊的時候知道自己死得多冤
例如第一年第一次買歌一看根+1 耐+1 賢+1 3首友情跟速+1都不見了
https://i.imgur.com/oGNDAVq.png