五階方塊單邊翻轉-貼紙預知法 - 魔術方塊

零、前言：

此篇接續 17275 篇 #18i--yEg
今天發現我原來的研究是正確的
只是沒有考慮到中心的旋轉性
所以加了中心的判斷，就完成了


一、判斷法

將一個已經完成六面的五階方塊，每一面都這樣貼（朝那邊方向都沒有關係）

□□□□□
□□Ｉ□□
□↖Ｉ↗□
□□Ｘ□□
□□□□□

隨意打亂之後，組完中心（不用組邊）
觀察各面中心的情形

1.如果兩個 Ｉ 是連成一字，則記為 +0；否則記 +1

□□□□□ □□□□□
□□Ｉ□□ □□□□□
□□Ｉ□□ 為 +0 □□Ｉ□□ 為 +0
□□□□□ □□Ｉ□□
□□□□□ □□□□□

□□□□□ □□□□□
□□□□□ □□□□□
□一Ｉ□□ 為 +1 □□Ｉ一□ 為 +1
□□□□□ □□□□□
□□□□□ □□□□□

2.如果兩個箭頭，至少其中一個，看起來像是從 Ｘ 發出的，記為 +0；否則記為 +1

□□□□□ □□□□□
□□Ｉ□□ □□Ｉ□□
□↖Ｉ↗□ 為 +0 □ＸＩ↘□ 為 +0
□□Ｘ□□ □□↘□□
□□□□□ □□□□□

□□□□□
□□Ｉ□□
□↙ＩＸ□ 為 +0
□□↙□□
□□□□□

□□□□□ □□□□□
□□Ｉ□□ □□Ｉ□□
□↙Ｉ↘□ 為 +1 □ＸＩ↗□ 為 +1
□□Ｘ□□ □□↙□□
□□□□□ □□□□□

□□□□□
□□Ｉ□□
□↖ＩＸ□ 為 +1
□□↘□□
□□□□□

3.統計六面總和
如果是偶數，則必不會出現單邊翻轉！
如果是奇數，則必出現單邊翻轉！


二、簡略證明（說明）

1.如果把六面各小格都做上記號，轉單邊翻轉公式觀察，會發現

原來

□□□□□
□11□44□
□22□55□
□33□66□
□AA□BB□
■CC■DD■ ←前面最上層

轉過單邊翻轉公式後，變成

□□□□□
□66□33□
□55□22□
□44□11□
□DD□CC□
■BB■AA■

其他不動

按照東賢中心公式（請參考 12362 篇 #17YNMsU5
或 http://rubiks.tw/u/reheart/RC/sol/Cubes.exe ）
在不破壞中心、不產生單邊翻轉、對邊互換的情況下，可以做三中心輪調
（不論是跨面，或是同面，都可以做到）
依照狐小心法，可以先換兩中心，再換兩中心（同位置），其他不動
依照三階 PLL 時的原則，可以換三角，也可以用換三角兩次變成換四角
所以使用東賢中心公式，可以把上述繼續變成

□□□□□
□11□44□
□55□22□
□33□66□
□DD□CC□
■BB■AA■

這樣表示，做一次單邊翻轉，實際上可視為兩個鄰近中心的中心區的邊對調（圖中5與2）
（逆向證明需要詳細數學方法來處理）
而三個以上的中心區的邊對調時，可以用東賢中心公式化簡
所以最後只要判斷只剩兩個中心區的邊對調的情形，可以視為單邊翻轉的特徵


2.依照三階中心旋轉原則
五階方塊的大中心方向，如同三階的中心一樣
所以大中心區的邊對調數，只需對照正中心來觀察即可
不需考慮原始的貼法，所形成的旋轉數
（因為正中心可以用三階中心旋轉法來調整）


3.不論正中心旋轉到何處，將其所貼的Ｉ轉到朝上下方來看
（下面假設與原貼時的方向相同）

如果原來貼的情況是這樣
A
D I B
C
那麼採用東賢換中心的公式，兩次換兩個小中心，仍不會影響單邊翻轉出現與否情形
所以下面是換三個小中心後的結果（換兩次兩小中心，形成換三小中心）
A A D C D B C B
C I D B I C C I B A I B B I A A I D D I A D I C
B D A D C C B A

下面是使用兩次換兩個小中心（為換四小中心的部分情形）的結果
C B D
B I D C I A A I C
A D B

我們可以發現一個共通性：
(1) 如果 A 在 I 的上或下位置，則 B、C、D 為順時針旋轉
例如順時針來看為：ABCD、ACDB 或 ADBC
(2) 如果 A 在 I 的左或右位置，則 B、C、D 為逆時針旋轉
例如順時針來看為：ABDC、ADCB 或 ACBD

所以我們設計 A 處貼Ｉ、B 處貼↗、C 處貼Ｘ、D 處貼↖
□□□□□
A □□Ｉ□□
D I B 就是 □↖Ｉ↗□
C □□Ｘ□□
□□□□□

(1) 如果 A 在 I 的上方位置，則 B、C、D 為順時針旋轉
Ｉ Ｉ Ｉ
ABCD 為 ↖Ｉ↗ ， ACDB 為 ↙ＩＸ ， ADBC 為 ＸＩ↘
Ｘ ↙ ↘
都有箭頭看起來是從Ｘ發出來的（注意箭頭會依方位轉動）

(2) 如果 A 在 I 的右方位置，則 B、C、D 為逆時針旋轉
Ｘ ↖ ↗
ABDC 為 ↖Ｉ一 ， ADCB 為 ＸＩ一 ， ACBD 為 ↙Ｉ一
↘ ↙ Ｘ
兩個箭頭看起來都不是從Ｘ發出來的

C A
(3) 如果是 B I D ，按照東賢換中心公式，用兩次換兩小中心，可以變回 D I B
A C

所以 A 在下方視為與 A 在上方的(1)同構，A 在左方視為與 A 在右方的(2)同構

所以把
(1) 都有箭頭看起來是從Ｘ發出來的 訂為 +0；兩個Ｉ在上下訂為 +0
(2) 兩個箭頭看起來都不是從Ｘ發出來的 訂為 +1；兩個Ｉ在左右訂為 +1
如此，(1) 和 (2) 的情況，其和均為偶數
而其他情況和均為奇數

舉一例子：

↖
一ＩＸ 其和為 +1，而需經過三次換兩中心才能恢復原狀，故最後必剩下兩個小中心交換
↙

4.如果是兩面以上，依照東賢公式或狐小心法
換 A 面兩小中心，再換 B 面兩小中心，仍會恢復
所以各面奇偶數可以累加

5.累加到最後，由於使用兩次換兩小中心會恢復
所以最後只剩兩個小中心要交換時，就是最後會出現單邊翻轉情形，其總和為奇數
如果總和為偶數，必可兩兩處理而無剩，不會出現單邊翻轉


三、後記
這個方法，只要在組完中心之後數一數，就可以判斷最後會不會出現單邊翻轉
不相信的話，完成組邊、完成三階，就知道了

不過，這是判斷法
如何避免？ 或是特徵出現時，如何用比單邊翻轉公式簡單的轉法調整？
就是後續的研究（我目前尚未有結果，請大家一起來研究看看...）

另外要更正 17275 篇 #18i--yEg 的一個說法

五階對邊互換，按照東賢中心公式，或狐小心法
可以把大中心區調整成正常
所以上面方法並不會判斷出對邊互換是否會出現
也就是說，上面方法純粹用在單邊翻轉。對邊互換不會干擾
然而，對邊互換公式很簡單，所以不需要去避免...

--
Reheart8355 許老師（Reheart-易懷），愛生公式，愛胡思亂想
自 1980 年摸魔術方塊，1981 年學基本公式，2006 年學 CFOP
個人魔術方塊網頁 http://rubiks.tw/u/reheart/Rubiks-cube.htm
縮網址：http://kuso.cc/38mf （95/4/7更新、95/6/28改版、95/12/12、97/1/13換址）
益智玩具：http://rubiks.tw/u/reheart/puzzle.htm 縮網址 http://kuso.cc/38mg
個人網頁：http://kuso.cc/KfE 魔術方塊備用站 http://kuso.cc/zBx 請多多指教！

--