Re: 十三枚硬幣 其中一枚不一樣重 - 拼圖

※ 引述《m06 (桂冠湯圓)》之銘言：
: 推文提到
: 推 rehearttw:有教授證明過了，依原題目，確實要四次。有計算公式 05/27 07:52
: 很好奇證明是怎麼證的..
: 前面有12個金幣的分別法
: 感覺13個應該也可行耶..
: 不知道有沒有教授的證明可以參考＠＠?
我好像看過那個證明，但有點抽象，用我的方法講講看。

首先要澄清題目。我現在要證的題目的要求，除了必須找出假硬幣，還必須知
道這個假硬幣是輕或重。像最近又討論起來的題目是只要找到假硬幣即可，在13
個金幣時正好會有差。

先考慮三個金幣的情況，先行編號後，只有六種可能：

1輕 1重 2輕 2重 3輕 3重

假設我們把 1 2 拿去秤，有三種結果，那它們對應到的可能就變成：

A. 1 > 2 1重 or 2輕
B. 1 < 2 1輕 or 2重
C. 1 = 2 3輕 or 3重

注意到秤一次之後，原來的六種可能被劃分成三組二種可能，下一步就可以找
出假硬幣「並且」知道它是輕或重。例如剛剛得到 1<2 就拿 1 3 去秤：

B a. 1 = 3 2重
B b. 1 < 3 1輕

如果是四個金幣，有八種可能：1輕 1重 2輕 2重 3輕 3重 4輕 4重

同樣把 1 2 拿去秤，但這時對應到的就變成：

A. 1 > 2 1重 or 2輕
B. 1 < 2 1輕 or 2重
C. 1 = 2 3輕 or 3重 or 4輕 or 4重

在 case C 裡面，有四種可能。但你不管如何安排下一次比較，都只有 > = <
三種結果，是不夠區分出四種可能的。至少會有兩種可能給你相同的結果。最好
的安排是拿 1 3 去秤，變成

C a. 1 > 3 3輕
C b. 1 < 3 3重
C c. 1 = 3 4輕 或 4重 <= 這裡就失敗了

因此在只秤兩次的情況下，最多只能有三個金幣。

在只剩最後一次秤的機會的時候，最多只能有 3 個情況，不然一定會有一種
結果讓你失敗。同樣的道理，只剩最後兩次秤的機會時，最多只能有 9 個情況
，不然分下去後會有一堆有 4 個以上，而那堆就可能會失敗。

在 12 個金幣的問題裡，拿 1234 和 5678 去秤，會得到

A. 1234 > 5678 1重 2重 3重 4重 5輕 6輕 7輕 8輕
B. 1234 < 5678 1輕 2輕 3輕 4輕 5重 6重 7重 8重
C. 1234 = 5678 9輕 9重 10輕 10重 11輕 11重 12輕 12重

剛剛好每組有 8 個可能，不超過 9 個。

若有 13 個金幣，那有 26 種可能，看似可以分成 9 9 8，但其實沒辦法，最
好的秤法仍然是拿 1234 和 5678 去秤：

A. 1234 > 5678 1重 2重 3重 4重 5輕 6輕 7輕 8輕
B. 1234 < 5678 1輕 2輕 3輕 4輕 5重 6重 7重 8重
C. 1234 = 5678 9輕 9重 10輕 10重 11輕 11重 12輕 12重 13輕 13重

這樣 case C 裡面有 10 種可能，是沒辦法在秤兩次內找出是哪個情況的。所
以說，若要同時找出假硬幣「並且」知道是太輕或太重的話，13 個金幣需要秤
四次。

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Just because you deserve this
doesn't mean they're gonna give it to you.

Sometimes you gotta take what's yours.

── Kenny Ray Carter

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