Excellent vs Great, 數學計算篇 - PokemonGO

這篇文章是技術性、數學計算性的討論，以 u/bmenrigh的一邊文章為基礎。同時，板友麻煩請先看過之前的實用篇。

前一陣子 enoeht20181 討論了 Excellent vs Great 的議題 (https://goo.gl/Pqhtjh)，這確實是一個值得討論的議題。enoeht20181並提出60%命中率(不過是取r=0.15而非0.3)作為是否定圈在Excellent的基準。

另外，Silph Road 網友 u/bmenrigh 提出的Excellent定圈臨界值是90% Excellent命中率 (https://goo.gl/vAzyhK)。本文說明 u/bmenrigh的模型，並對兩者差異加以討論。


r/bmenrigh的圖表說明
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為方便起見，r/bmenrigh的主要結論之分布圖再次列在這裡:

https://imgur.com/eia5X5u.jpg

此圖的橫軸是捕捉圈加分=2-r, r是圈圈大小, 為0到1之間，r<0.3為Excellent,
0.3<r<0.7為Great。此圖的假設是的是基礎捕獲率2%的20等頭目，使用金莓，有金牌，使
用曲球。

此圖中每一曲線代表投進r=0.3定圈的機率，在不同的定圈選擇下，拿8球時的整體捕獲率
。以P=60%為例，這代表60%能投進定圈r=0.3。如果定圈在r=0.3，總體捕獲率約65%，但
如果定圈在r=0.4左右，則可達到最大捕獲率66%。



r/bmenrigh之模型的說明
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為了解模型的技術細節，必須先了解一些二維常態分佈的基本概念(已熟悉這些概念的板
友請忍耐一下)。原PO的模型是假設玩家拋球的落點是一個二維的常態分佈，如下圖所示:

https://imgur.com/gMZwQtn.jpg

曲面的高度代表球的落點的密度，在此一模型之下，落點的分布類似下圖:

https://imgur.com/PNgMDoQ.jpg

此外，原PO還假設X, Y 隨機變數彼此獨立，同時兩維的標準差相同。在這些假設之下，
落點的分布是圓形而非橢圓形。同時，由於原點設在曲面中心，這樣的模型只有一個參數
，就是標準差。以一維的常態分佈為例，標準差的影響如下圖所示：

https://imgur.com/tsXaMvh.jpg

圖中的 sigma 值就是標準差，越小表示密度越集中，換言之控球能力越強，投進
Excellent定圈的機率越高。

在這個模型之下，給定一個標準差，及一個定圈大小，可以計算出投進定圈範圍的機率。
注意到給定一個標準差的值之後，投進r=0.3定圈的機率與投進r=0.5定圈的機率已經決定
，而兩者的比值是固定的。

注意到以下的等價敘述: (算法稍後會交代)

* 定圈0.3投進的機率是90% 等價於 標準差參數是0.1398
* 定圈0.3投進的機率是90% 等價於 定圈0.5投進的機率是 99.83%
* 定圈0.3投進的機率是90% 等價於 定圈0.15投進的機率是 43.8%

r/bmenrigh之模型的技術細節
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如何決定標準差參數的值? 作法如下:

機率密度函數 pdf(x,y)=[1/(2*PI*s^2)]*exp[-(x^2+y^2)/(2s^2)], 其中PI是圓周率，s
是標準差

在r = a 的定圈之下 (a是個常數)，投進圈圈之內的機率可由pdf的積分得到，而積分範
圍是半徑為a的圓，因此適合極座標，積分結果是

P(r<=a) = 1-exp[-a^2/(2s^2)]

因此可以反推得到，如果定圈0.3投進的機率是90%，則標準差參數是0.1398。前述捕獲機
率的每一條曲線，都可以由上式算出相對應的標準差參數。

接下來是模擬的部分，用以估計整體捕獲率。給定一個標準差參數(捕獲率分布圖的一條
曲線)，和一個定圈大小，首先由一維的常態分佈可以分別得到隨機數字 x,y (這部分我
不知道細節，但任何程式語言都提供這個功能)。其次，依據這個點是在圈圈內或圈圈外
，再依照捕獲率公式決定這一球捕獲的機率。接著，由另一個隨機變數(uniform
distribution)產生一個0到1的亂數，如果小於這球的捕獲機率則視為捕捉到，否則視為
沒捉到，最多8球。這樣的模擬重複20萬次取平均。在每一個r值(每0.01取一點)都模擬過
之後，捕獲率曲線就可以畫出。

其實整體捕獲率的計算可以算出理論值，只是在不保證一定能投進圈圈內的情況下，式子
比較麻煩，不像模擬這麼單純，但理論值可以算的很精確。


與enoeht20181計算的比較
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enoeht20181與u/bmenrigh兩者最大的差異在於前者假設定圈Great時與定圈Excellent時
的拋球行為不同，也就是兩者的標準差參數不同。如果只有一個標準差參數，如前所述
r=0.5投進機率與r=0.15投進機率的比值是固定的。

另外，enoeht20181的計算是以r=0.5與r=0.15來比較。注意到在u/bmenrigh的模型之下，
如果r=0.15投進的機率達到60%，相當於r=0.3投進機率為97.5%，可以說是非常嚴格的標
準。因此，60%的標準其實過高。

那麼，enoecht20181原文中的式子

13.06%*p + 8.90%*(1-p) = 15.85%*q + 8.90%*(1-q)


究竟代表何種意義呢? 請看下圖，當只有拿到一球的時候的捕獲率分布:

https://imgur.com/5NGdGkZ.jpg

假設玩家平常目標放在Great時的控球力相當於標準差0.2374 (亦即r=0.5命中率89.1% 或
r=0.3/55%), 如果定圈在0.5 則總體捕獲率為12.6%. 那麼控球力達到標準差0.1215 (亦即
r=0.3命中率95.3% 或 r=0.15/53.3%)且定圈在0.15的話，可以達到相同的捕獲率。也就
是:

13.06%*89.1% + 8.90%*(1-89.1%) = 15.85%*53.3% + 8.90%*(1-53.3%) = 12.6%

這就是上式的意義，但與估計最佳定圈大小的目標並沒有直接關係。


討論
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為何u/bmenrigh 的結論與球數及怪的等級無關? 球數變化與等級變化時，分布曲線頂點
所在的捕捉圈大小是否保持不變? 這些問題模擬沒有辦法回答，必須有理論解才可以。如
前所述，理論解是存在的。




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