利用定圈捕捉頭目時，究竟該選擇多大的圈圈? 網友 r/bmenrigh 在一篇 Silph Road的文章 (https://goo.gl/vAzyhK) 提出了一個解釋，而本文以該篇文章的模型作為基礎來討論這個問題。
本文只針對實用的議題討論。技術性、數學計算性的問題請見稍後的數學計算篇。數學篇會詳論 r/bmenrigh 之模型的細節。
結論與建議
-----------
* 理論上，以r=0.3 (Excellent的最低要求) 的命中率為準，來判斷定圈的適當大小。當
Excellent的命中率達到接近90%左右，定圈在r=0.3可以得到最佳捕獲率。如果達不到這
個命中率，定圈大小就得放寬。
* 上述的結論與拿到的球數或頭目的等級無關
* 如果捕獲率是目標，寧可定圈稍稍放寬一些，而避免過於縮小
捕獲率與定圈的關係
------------------
u/bmenrigh的分析結論是下列的圖形:
https://imgur.com/eia5X5u.jpg
此圖的橫軸是圈圈大小加分=2-r, r是圈圈大小, 是0到1之間的數字，r<0.3為
Excellent, 0.3<r<0.7為Great。此圖的假設是的是基礎捕獲率2%的20等頭目，使用金莓
，有金牌，使用曲球，拿到8球。
此圖中每一曲線代表一個控球精準度，例如P=80%表示定圈在r=0.3時的命中率。 然而，
擁有這個控球精準度的玩家，仍然可以選擇不同的定圈。此曲線的意義，在於選擇不同的
定圈大小的情況下，整體捕獲率的變化。以P=60%為例，這代表60%能投進定圈r=0.3。如
果定圈在r=0.3，總體捕獲率約65%，但如果定圈在r=0.4左右，則可達到最大捕獲率66%。
幾個結論:
* 定圈大小要依照控球能力而定。如果r=0.3投進的機率大於90%，則應該定圈在r=0.3或
更小一些。否則按控球力調整定圈大小。
* 如果定圈大小值小於最佳值或大於最佳值，則捕獲率無法最佳化，但小於最佳值的情況
下(愈往X軸右邊)，捕獲率下降較嚴重。換言之，寧可定圈大一些不要過小。
由於原圖只有20等8球的情況，我使用同樣的模型跑了以下的幾種情況；
20等8球
https://imgur.com/CjVBk0G.jpg
20等11球
https://imgur.com/0EFbeIg.jpg
25等8球
https://imgur.com/qp2bbgr.jpg
25等11球
https://imgur.com/5Fof7ya.jpg
原PO的圖形非常平滑，我相信是經過平滑化的處理，因為亂數模擬的情況必然導致不平滑
曲線。不過，上述的模擬結果是將曲線上101點每一個點都跑20萬組模擬落點的平均，準
度比較不夠，如果是跑兩百萬組，L20八球的圖形會稍微平滑些:
https://imgur.com/ApQoDsi.jpg
從這幾張圖可以看到，前述的結論看來與球數，怪的等級都無關，這些曲線只是在垂直軸
按比例上下移動，曲線頂點似乎沒有改變。
如何知道控球能力或加強控球能力
-----------------------------
想要知道定圈大小的最佳值，必須知道自己的控球能力。除了統計實際的頭目捕捉狀況，
這裡提供另一個方法: 利用 Excellent Throw for Pokemon GO 這個APP (Android玩家抱
歉，我只知道這個iOS APP)。這個APP是直球曲球都可以使用的。使用此APP的好處之一是
可以針對同一目標反覆練習。
投得好的時候是像這樣:
https://imgur.com/mtMzT2u.jpg
控球力不佳的時候會像這樣:
https://imgur.com/CkrtkKR.jpg
練習久了，達到r=0.3 80-90%的命中率就不成問題。屆時在實戰中，就可以進一步觀察到
更真實的落點分布。
如果你需要有關出手角度，拋球時機等等的指引，這篇文章可以做個參考:
https://goo.gl/B7DxoZ
https://goo.gl/VLPoJS
注意到雖然以為練成了高命中率，有時候狀況不好仍會連續失投的。
話說我是定圈在r=0.3附近的，但還蠻常投到擦邊球，所以也很少進一步縮小定圈，比起
有天分而且苦練不輟的神射手還有一段不小的距離。希望有天能更上一層樓。
結語
------
r/bmenrigh 建議追求Great而非Excelleent。在控球力不夠的時候，為了提高捕獲率或許
不得不如此。但在控球力增強之後，當然要挑戰Excellent，甚至更高境界例如連續
Excellent或縮小定圈，否則樂趣何在呢?
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本文只針對實用的議題討論。技術性、數學計算性的問題請見稍後的數學計算篇。數學篇會詳論 r/bmenrigh 之模型的細節。
結論與建議
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* 理論上，以r=0.3 (Excellent的最低要求) 的命中率為準，來判斷定圈的適當大小。當
Excellent的命中率達到接近90%左右，定圈在r=0.3可以得到最佳捕獲率。如果達不到這
個命中率，定圈大小就得放寬。
* 上述的結論與拿到的球數或頭目的等級無關
* 如果捕獲率是目標，寧可定圈稍稍放寬一些，而避免過於縮小
捕獲率與定圈的關係
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u/bmenrigh的分析結論是下列的圖形:
https://imgur.com/eia5X5u.jpg
此圖的橫軸是圈圈大小加分=2-r, r是圈圈大小, 是0到1之間的數字，r<0.3為
Excellent, 0.3<r<0.7為Great。此圖的假設是的是基礎捕獲率2%的20等頭目，使用金莓
，有金牌，使用曲球，拿到8球。
此圖中每一曲線代表一個控球精準度，例如P=80%表示定圈在r=0.3時的命中率。 然而，
擁有這個控球精準度的玩家，仍然可以選擇不同的定圈。此曲線的意義，在於選擇不同的
定圈大小的情況下，整體捕獲率的變化。以P=60%為例，這代表60%能投進定圈r=0.3。如
果定圈在r=0.3，總體捕獲率約65%，但如果定圈在r=0.4左右，則可達到最大捕獲率66%。
幾個結論:
* 定圈大小要依照控球能力而定。如果r=0.3投進的機率大於90%，則應該定圈在r=0.3或
更小一些。否則按控球力調整定圈大小。
* 如果定圈大小值小於最佳值或大於最佳值，則捕獲率無法最佳化，但小於最佳值的情況
下(愈往X軸右邊)，捕獲率下降較嚴重。換言之，寧可定圈大一些不要過小。
由於原圖只有20等8球的情況，我使用同樣的模型跑了以下的幾種情況；
20等8球
https://imgur.com/CjVBk0G.jpg
20等11球
https://imgur.com/0EFbeIg.jpg
25等8球
https://imgur.com/qp2bbgr.jpg
25等11球
https://imgur.com/5Fof7ya.jpg
原PO的圖形非常平滑，我相信是經過平滑化的處理，因為亂數模擬的情況必然導致不平滑
曲線。不過，上述的模擬結果是將曲線上101點每一個點都跑20萬組模擬落點的平均，準
度比較不夠，如果是跑兩百萬組，L20八球的圖形會稍微平滑些:
https://imgur.com/ApQoDsi.jpg
從這幾張圖可以看到，前述的結論看來與球數，怪的等級都無關，這些曲線只是在垂直軸
按比例上下移動，曲線頂點似乎沒有改變。
如何知道控球能力或加強控球能力
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想要知道定圈大小的最佳值，必須知道自己的控球能力。除了統計實際的頭目捕捉狀況，
這裡提供另一個方法: 利用 Excellent Throw for Pokemon GO 這個APP (Android玩家抱
歉，我只知道這個iOS APP)。這個APP是直球曲球都可以使用的。使用此APP的好處之一是
可以針對同一目標反覆練習。
投得好的時候是像這樣:
https://imgur.com/mtMzT2u.jpg
控球力不佳的時候會像這樣:
https://imgur.com/CkrtkKR.jpg
練習久了，達到r=0.3 80-90%的命中率就不成問題。屆時在實戰中，就可以進一步觀察到
更真實的落點分布。
如果你需要有關出手角度，拋球時機等等的指引，這篇文章可以做個參考:
https://goo.gl/B7DxoZ
https://goo.gl/VLPoJS
注意到雖然以為練成了高命中率，有時候狀況不好仍會連續失投的。
話說我是定圈在r=0.3附近的，但還蠻常投到擦邊球，所以也很少進一步縮小定圈，比起
有天分而且苦練不輟的神射手還有一段不小的距離。希望有天能更上一層樓。
結語
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r/bmenrigh 建議追求Great而非Excelleent。在控球力不夠的時候，為了提高捕獲率或許
不得不如此。但在控球力增強之後，當然要挑戰Excellent，甚至更高境界例如連續
Excellent或縮小定圈，否則樂趣何在呢?
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